Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una pastelería quieren preparar cajitas de panellets para obsequiar a los mejores clientes durante la semana de la Castanyada. En total, disponen de 120 panellets de piñones y de 150 panellets de coco. Quieren preparar cajitas de dos tipos: las del primer tipo contendrán 3 panellets de piñones y 2 de coco, y las del segundo tipo contendrán 4 panellets de piñones y 6 de coco. La idea de la pastelería es preparar el número máximo de cajitas posible con los panellets de que disponen, teniendo en cuenta que, como mínimo, han de preparar 9 cajitas de cada tipo.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) Determine cuántas cajitas hay que preparar de cada tipo para hacer el máximo número de obsequios posible. Indique si, en este caso, se utilizarán todos los panellets disponibles y, si no es así, cuántos sobrarán de cada tipo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de cajitas del primer tipo e $y$ al número de cajitas del segundo tipo. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Panellets de piñones}$	$\text{Panellets de coco}$ Cajitas tipo 1 (x)	3x	2x Cajitas tipo 2 (y)	4y	6y Totales	3x + 4y	2x + 6y

La pastelería quiere preparar el máximo número de cajitas, de modo que la función objetivo que hay que maximizar es:

$N(x,y) = x + y$

Las restricciones del problema son:

Solo hay 120 panellets de piñones $\Rightarrow$ $3x + 4y \le 120$.

Solo hay 150 panellets de coco $\Rightarrow$ $2x + 6y \le 150$.

Hay que preparar como mínimo 9 cajitas de cada tipo $\Rightarrow$ $x \ge 9;\ y \ge 9$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 3x + 4y \le 120 \\ 2x + 6y \le 150 \\ x \ge 9;\ y \ge 9 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$3x + 4y = 120 \Rightarrow y = \dfrac{120 - 3x}{4}$

$2x + 6y = 150 \Rightarrow y = \dfrac{150 - 2x}{6}$

junto con las rectas $x = 9$ e $y = 9$. La región factible es la zona coloreada en azul: por debajo de las dos primeras rectas, a la derecha de $x = 9$ y por encima de $y = 9$.



$\textbf{b) Determine cuántas cajitas hay que preparar de cada tipo para hacer el máximo número de obsequios posible. Indique si, en este caso, se utilizarán todos los panellets disponibles y, si no es así, cuántos sobrarán de cada tipo. (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x = 9 \\ y = 9 \end{cases} \Rightarrow A(9,9)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} 2x + 6y = 150 \\ x = 9 \end{cases} \Rightarrow 18 + 6y = 150 \Rightarrow y = 22 \Rightarrow B(9,22)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 3x + 4y = 120 \\ 2x + 6y = 150 \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para igualar los coeficientes de $y$:

$\begin{cases} 9x + 12y = 360 \\ 4x + 12y = 300 \end{cases}$

Restando: $5x = 60 \Rightarrow x = 12 \Rightarrow 4y = 120 - 36 = 84 \Rightarrow y = 21 \Rightarrow C(12,21)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} 3x + 4y = 120 \\ y = 9 \end{cases} \Rightarrow 3x + 36 = 120 \Rightarrow x = 28 \Rightarrow D(28,9)$

Valoramos la función $N(x,y) = x + y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$A(9,9) \Rightarrow N(9,9) = 18$

$B(9,22) \Rightarrow N(9,22) = 31$

$C(12,21) \Rightarrow N(12,21) = 33$

$D(28,9) \Rightarrow N(28,9) = 37$

El número máximo de cajitas se alcanza en el vértice $D(28,9)$. Comprobamos cuántos panellets se gastan en ese caso.

$\text{Piñones} = 3\cdot 28 + 4\cdot 9 = 84 + 36 = 120$

$\text{Coco} = 2\cdot 28 + 6\cdot 9 = 56 + 54 = 110$

$150 - 110 = 40$

Hay que preparar $28$ cajitas del primer tipo y $9$ del segundo, con lo que se obtienen $37$ obsequios. Se gastan todos los panellets de piñones, pero sobran $40$ panellets de coco.