Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Una fábrica estima que el beneficio mensual, en miles de euros, por cada tonelada de confeti vendida viene dado por la función $f(x) = \dfrac{-0{,}2x^2 + 5x - 20}{x}$, donde $x$ representa el número de toneladas de confeti vendidas.

a) Determine en qué intervalo de valores se ha de encontrar la variable $x$ para que la fábrica no tenga pérdidas. [1,25 puntos]

b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine en qué intervalo de valores se ha de encontrar la variable } \boldsymbol{x}\textbf{ para que la fábrica no tenga pérdidas. (1,25 puntos)}$

La variable representa toneladas vendidas, de modo que el dominio del problema es $x > 0$. No tener pérdidas significa que el beneficio no sea negativo, así que se resuelve la inecuación $f(x) \ge 0$.

$\dfrac{-0{,}2x^2 + 5x - 20}{x} \ge 0$

Como el denominador es positivo en todo el dominio, el signo del cociente es el del numerador. Calculamos sus ceros.

$-0{,}2x^2 + 5x - 20 = 0 \Rightarrow x^2 - 25x + 100 = 0$

$x = \dfrac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{2} = \dfrac{25 \pm \sqrt{225}}{2} = \dfrac{25 \pm 15}{2}$

$\begin{cases} x = 5 \\ x = 20 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 1,\quad f(1) = \dfrac{-0{,}2 + 5 - 20}{1} = -15{,}2 < 0 \\ \text{Si } x = 10,\quad f(10) = \dfrac{-20 + 50 - 20}{10} = 1 > 0 \\ \text{Si } x = 25,\quad f(25) = \dfrac{-125 + 125 - 20}{25} = -0{,}8 < 0 \end{cases}$



La fábrica no tiene pérdidas si vende entre $5$ y $20$ toneladas de confeti, es decir, para $x \in [5,20]$.

$\textbf{b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio. (1,25 puntos)}$

Antes de derivar conviene repartir el numerador entre el denominador, porque así la función queda escrita como una suma de potencias y se deriva mucho más cómodamente.

$f(x) = \dfrac{-0{,}2x^2}{x} + \dfrac{5x}{x} - \dfrac{20}{x} = -0{,}2x + 5 - 20x^{-1}$

$f'(x) = -0{,}2 + \dfrac{20}{x^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow \dfrac{20}{x^2} = 0{,}2 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10$

Se descarta la solución negativa porque no se pueden vender toneladas negativas de confeti.

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$f''(x) = -\dfrac{40}{x^3} \Rightarrow f''(10) = -\dfrac{40}{1000} = -0{,}04 < 0$

$f(10) = \dfrac{-0{,}2\cdot 100 + 50 - 20}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$

El beneficio es máximo vendiendo $10$ toneladas de confeti, y ese beneficio máximo es de $1$ millar de euros, es decir, $1000$ €.