Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Un inversor se da cuenta de que en el momento actual sus acciones tienen unas pérdidas de 2.000 €. Su asesor financiero tiene una previsión del valor de las acciones para los próximos 30 días. Le dice que el valor de las acciones ya ha empezado a aumentar y que de aquí a pocos días dejará de tener pérdidas. Según las previsiones, durante los próximos 10 días el valor de las acciones crecerá; del día 10 al día 20 los beneficios disminuirán, y a partir de este día los beneficios volverán a crecer. El asesor también dice al inversor que la previsión de los beneficios para los próximos 30 días tiene como modelo la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, donde $x \in [0,30]$.

a) Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. [1,5 puntos]

b) Si el inversor quiere vender sus acciones durante estos 30 días, ¿cuál es el día en el que obtendrá más beneficios de la venta? ¿Qué beneficios obtendrá? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

El enunciado da tres condiciones. La primera es el valor actual, que corresponde a $x = 0$ y son 2.000 € de pérdidas, es decir, un beneficio de $-2000$.

$f(0) = c = -2000$

Las otras dos condiciones son de monotonía: la función crece hasta el día 10, decrece del 10 al 20 y vuelve a crecer. Eso significa que hay un máximo relativo en $x = 10$ y un mínimo relativo en $x = 20$, y en los extremos relativos la derivada se anula.

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(10) = 0 \Rightarrow 300 + 20a + b = 0$

$f'(20) = 0 \Rightarrow 1200 + 40a + b = 0$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$900 + 20a = 0 \Rightarrow a = -45$

$b = -300 - 20(-45) = -300 + 900 = 600$

Comprobamos que con estos valores la derivada se anula donde toca:

$f'(x) = 3x^2 - 90x + 600 = 3(x - 10)(x - 20)$

Los parámetros valen $a = -45$, $b = 600$ y $c = -2000$, de manera que $f(x) = x^3 - 45x^2 + 600x - 2000$.

$\textbf{b) Si el inversor quiere vender sus acciones durante estos } \boldsymbol{30}\textbf{ días, ¿cuál es el día en el que obtendrá más beneficios de la venta? ¿Qué beneficios obtendrá? (1 punto)}$

Se busca el máximo absoluto de la función en el intervalo cerrado $[0,30]$, de modo que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Los puntos críticos ya se conocen del apartado anterior: $x = 10$ y $x = 20$.

$f(0) = -2000$

$f(10) = 1000 - 4500 + 6000 - 2000 = 500$

$f(20) = 8000 - 18000 + 12000 - 2000 = 0$

$f(30) = 27000 - 40500 + 18000 - 2000 = 2500$

Comparando los cuatro valores:

$-2000 < 0 < 500 < 2500$

El máximo relativo del día 10 no es el mayor beneficio del periodo, porque después la función vuelve a crecer y en el extremo derecho del intervalo supera ese valor.

El inversor obtendrá más beneficios vendiendo el día $30$, con un beneficio de $2500$ €.