Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Calcule para qué valor de $a$ las dos matrices conmutan, es decir, para qué valor de $a$ se cumple que $A \cdot B = B \cdot A$. Compruebe que para este valor de $a$ se satisface que $A \cdot B = 2 \cdot I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden dos. [1,25 puntos]

b) Para el valor de $a$ encontrado en el apartado anterior, calcule las matrices inversas de las matrices $A$ y $B$. Puede aplicar la relación $A \cdot B = 2 \cdot I$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule para qué valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ las dos matrices conmutan, es decir, para qué valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ se cumple que } \boldsymbol{A \cdot B = B \cdot A}\textbf{. Compruebe que para este valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ se satisface que } \boldsymbol{A \cdot B = 2 \cdot I}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Calculamos los dos productos por separado, dejando el parámetro indicado.

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + (-1)\cdot 0 & 1\cdot 1 + (-1)\cdot a \\ 0\cdot 2 + 2\cdot 0 & 0\cdot 1 + 2\cdot a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 - a \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$

$B\cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1\cdot 0 & 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 \\ 0\cdot 1 + a\cdot 0 & 0\cdot(-1) + a\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales si coinciden todos sus elementos. Aquí solo difiere el de la primera fila y segunda columna.

$1 - a = 0 \Rightarrow a = 1$

Sustituimos ese valor en el producto:

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 - 1 \\ 0 & 2\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2I$

Las dos matrices conmutan si $a = 1$, y con ese valor se cumple efectivamente que $A\cdot B = 2I$.

$\textbf{b) Para el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ encontrado en el apartado anterior, calcule las matrices inversas de las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. Puede aplicar la relación } \boldsymbol{A \cdot B = 2 \cdot I}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La relación del apartado anterior permite obtener las dos inversas sin calcular determinantes ni adjuntos. Dividiendo los dos miembros entre 2:

$A\cdot B = 2I \Rightarrow A\cdot \dfrac{1}{2}B = I$

Por la definición de matriz inversa, la matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es precisamente $A^{-1}$:

$A^{-1} = \dfrac{1}{2}B = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

Como las dos matrices conmutan, la misma igualdad sirve para la otra:

$\dfrac{1}{2}A\cdot B = I \Rightarrow B^{-1} = \dfrac{1}{2}A = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Comprobamos una de las dos:

$A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

Las matrices inversas son $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ y $B^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.