Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

La técnica de irradiación de los alimentos se utiliza para favorecer su conservación, pero unas dosis demasiado altas de irradiación pueden reducir su valor nutricional. Normalmente, para el procesamiento de alimentos se utilizan las radiaciones provenientes del cobalto y del cesio. Queremos utilizar esta técnica para tratar alimentos que ya han empezado a deteriorarse.

Considere $x$ e $y$ las cantidades emitidas de rayos de cobalto y de cesio, respectivamente, medidas en grays. Sabemos que la cantidad de radiación absorbida en la parte dañada del alimento es de $6x + 4y$ grays, alrededor de la parte dañada es de $3x + y$ grays y en las partes que están en buenas condiciones es de $4x + 5y$ grays.

a) Calcule las cantidades de rayos de cobalto y de rayos de cesio que habrá que utilizar para que la cantidad de radiación absorbida por las partes en buenas condiciones sea mínima, teniendo en cuenta que en la parte dañada esta cantidad ha de ser como mínimo de 60 grays y alrededor no puede exceder los 27 grays. Para hacerlo, determine cuál es la función objetivo que se ha de minimizar y las restricciones, y dibuje la región factible. [1,5 puntos]

b) Si aplicamos un tratamiento consistente en 7 grays de rayos de cobalto y 5 grays de rayos de cesio, compruebe que se cumplen las dos restricciones (la que hace referencia a la parte dañada y la que hace referencia a alrededor de la parte dañada). ¿Por qué es un tratamiento peor que la solución que ha encontrado en el apartado a? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las cantidades de rayos de cobalto y de rayos de cesio que habrá que utilizar para que la cantidad de radiación absorbida por las partes en buenas condiciones sea mínima. Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región factible. (1,5 puntos)}$

Las incógnitas ya vienen dadas por el enunciado: $x$ son los grays de rayos de cobalto e $y$ los de rayos de cesio. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$\text{Zona del alimento}$	$\text{Radiación absorbida}$	$\text{Condición}$ Parte dañada	6x + 4y	Como mínimo 60 grays Alrededor	3x + y	Como máximo 27 grays Partes en buen estado	4x + 5y	Se quiere mínima

La función objetivo que queremos minimizar es la radiación que reciben las partes sanas:

$R(x,y) = 4x + 5y$

Las restricciones del problema son:

En la parte dañada hacen falta 60 grays como mínimo $\Rightarrow$ $6x + 4y \ge 60$, que simplificando entre 2 queda $3x + 2y \ge 30$.

Alrededor de la parte dañada no se pueden superar los 27 grays $\Rightarrow$ $3x + y \le 27$.

Las cantidades emitidas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x \ge 0;\ y \ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 3x + 2y \ge 30 \\ 3x + y \le 27 \\ x \ge 0;\ y \ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$3x + 2y = 30 \Rightarrow y = \dfrac{30 - 3x}{2}$

$3x + y = 27 \Rightarrow y = 27 - 3x$

La región factible es la zona coloreada en azul: queda por encima de la primera recta y por debajo de la segunda.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow 2y = 30 \Rightarrow y = 15 \Rightarrow A(0,15)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} 3x + y = 27 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow y = 27 \Rightarrow B(0,27)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ 3x + y = 27 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera:

$y = 3 \Rightarrow 3x = 27 - 3 = 24 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow C(8,3)$

Valoramos la función $R(x,y) = 4x + 5y$ en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$A(0,15) \Rightarrow R(0,15) = 5\cdot 15 = 75$

$B(0,27) \Rightarrow R(0,27) = 5\cdot 27 = 135$

$C(8,3) \Rightarrow R(8,3) = 4\cdot 8 + 5\cdot 3 = 32 + 15 = 47$

La radiación mínima en las partes sanas se produce en el vértice $C(8,3)$.

Hay que emitir $8$ grays de rayos de cobalto y $3$ grays de rayos de cesio, con lo que las partes en buenas condiciones absorben solo $47$ grays.

$\textbf{b) Si aplicamos un tratamiento consistente en } \boldsymbol{7}\textbf{ grays de rayos de cobalto y } \boldsymbol{5}\textbf{ grays de rayos de cesio, compruebe que se cumplen las dos restricciones. ¿Por qué es un tratamiento peor que la solución que ha encontrado en el apartado a? (1 punto)}$

Sustituimos $x = 7$ e $y = 5$ en las dos restricciones.

$6\cdot 7 + 4\cdot 5 = 42 + 20 = 62 \ge 60$

$3\cdot 7 + 5 = 21 + 5 = 26 \le 27$

Las dos condiciones se cumplen, de modo que el punto $(7,5)$ pertenece a la región factible y el tratamiento es válido. Ahora se compara el valor de la función objetivo con el del apartado anterior.

$R(7,5) = 4\cdot 7 + 5\cdot 5 = 28 + 25 = 53$

$53 > 47$

El tratamiento con 7 grays de cobalto y 5 de cesio es válido, pero peor: las partes del alimento que están en buenas condiciones absorben $53$ grays en lugar de los $47$ del tratamiento óptimo, y por tanto pierden más valor nutricional.