Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

El Museo de Matemáticas de Cataluña (MMACA) tiene previsto montar una exposición. Se estima que el número de visitantes semanales que recibirá la exposición, expresado en decenas de personas, viene dado por la función $f(x) = \dfrac{240x}{x^2 - 2x + 4}$, donde $x \ge 1$ representa el tiempo, expresado en semanas, que hace que la exposición está abierta al público.

a) ¿Cuántas personas irán a ver la exposición la primera semana? Calcule la tasa de variación media del número de visitantes entre la semana 1 y la semana 4. [1 punto]

b) ¿Qué semana se prevé que irá más gente a ver la exposición? ¿Cuántos visitantes se estima que irán aquella semana? [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántas personas irán a ver la exposición la primera semana? Calcule la tasa de variación media del número de visitantes entre la semana 1 y la semana 4. (1 punto)}$

Basta evaluar la función en las dos semanas pedidas, teniendo en cuenta que el resultado viene expresado en decenas de personas.

$f(1) = \dfrac{240\cdot 1}{1^2 - 2\cdot 1 + 4} = \dfrac{240}{3} = 80$

$f(4) = \dfrac{240\cdot 4}{4^2 - 2\cdot 4 + 4} = \dfrac{960}{12} = 80$

La tasa de variación media en un intervalo es el cociente entre el incremento de la función y el incremento de la variable.

$\text{TVM}[1,4] = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{80 - 80}{3} = 0$

La primera semana irán $800$ personas a ver la exposición, y la tasa de variación media entre la semana 1 y la semana 4 es $0$: en la semana 4 hay exactamente los mismos visitantes que en la primera, aunque entre medio el número haya cambiado.

$\textbf{b) ¿Qué semana se prevé que irá más gente a ver la exposición? ¿Cuántos visitantes se estima que irán aquella semana? (1,5 puntos)}$

Derivamos la función aplicando la regla del cociente y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x) = \dfrac{240(x^2 - 2x + 4) - 240x(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 4)^2}$

$f'(x) = \dfrac{240x^2 - 480x + 960 - 480x^2 + 480x}{(x^2 - 2x + 4)^2} = \dfrac{-240x^2 + 960}{(x^2 - 2x + 4)^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow -240x^2 + 960 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función, que es $x \ge 1$.

El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo de $f'$ lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\begin{cases} \text{Si } x = 1{,}5,\quad -240\cdot 2{,}25 + 960 = 420 > 0 \\ \text{Si } x = 4,\quad -240\cdot 16 + 960 = -2880 < 0 \end{cases}$

La función crece en $(1,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$, de modo que en $x = 2$ hay un máximo.



$f(2) = \dfrac{240\cdot 2}{2^2 - 2\cdot 2 + 4} = \dfrac{480}{4} = 120$

La semana en la que irá más gente a la exposición es la segunda, con $1200$ visitantes.