Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Martín explica a Marcel que el otro día, cuando cogió el autocar para ir de Barcelona a Tarragona, el autocar se estropeó justo a la mitad del trayecto. Desde este punto fue caminando hasta la población más cercana, de manera que hizo a pie una veinteava parte del total del trayecto. Allí cogió un taxi hasta Tarragona, y dice que hizo 5 kilómetros más en autocar que en taxi.

a) Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilómetros hizo Martín en autocar, a pie y en taxi. [1,75 puntos]

b) Si el autocar iba a 100 km/h, Martín caminó a 5 km/h y el taxi iba a 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardó en hacer todo el trayecto? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilómetros hizo Martín en autocar, a pie y en taxi. (1,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a los kilómetros hechos en autocar, $y$ a los hechos a pie y $z$ a los hechos en taxi. El total del trayecto es la suma de los tres tramos, y lo llamamos $T$.

$x + y + z = T$

El autocar se estropeó a la mitad del trayecto:

$x = \dfrac{T}{2}$

A pie recorrió una veinteava parte del total:

$y = \dfrac{T}{20}$

Hizo 5 kilómetros más en autocar que en taxi:

$x - z = 5$

Despejamos el tramo en taxi de la primera ecuación:

$z = T - \dfrac{T}{2} - \dfrac{T}{20} = \dfrac{20T - 10T - T}{20} = \dfrac{9T}{20}$

Y sustituimos en la última condición:

$\dfrac{T}{2} - \dfrac{9T}{20} = 5 \Rightarrow \dfrac{10T - 9T}{20} = 5 \Rightarrow \dfrac{T}{20} = 5 \Rightarrow T = 100$

Con el total del trayecto se calculan los tres tramos:

$x = \dfrac{100}{2} = 50$

$y = \dfrac{100}{20} = 5$

$z = \dfrac{9\cdot 100}{20} = 45$

Comprobamos que los tres tramos suman el total y que se cumple la última condición:

$50 + 5 + 45 = 100,\qquad 50 - 45 = 5$

Martín hizo $50$ km en autocar, $5$ km a pie y $45$ km en taxi.

$\textbf{b) Si el autocar iba a } \boldsymbol{100}\textbf{ km/h, Martín caminó a } \boldsymbol{5}\textbf{ km/h y el taxi iba a } \boldsymbol{90}\textbf{ km/h, ¿cuánto tiempo tardó en hacer todo el trayecto? (0,75 puntos)}$

En cada tramo el movimiento es uniforme, de manera que el tiempo es el cociente entre la distancia y la velocidad. El tiempo total es la suma de los tres.

$t = \dfrac{50}{100} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{45}{90}$

$t = 0{,}5 + 1 + 0{,}5 = 2$

Martín tardó $2$ horas en hacer todo el trayecto.