Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $P = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ a & 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Encuentre para qué valores de $a$ es invertible la matriz obtenida del resultado del producto $P \cdot A$. [1,5 puntos]

b) Si $a = 2$, encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $P \cdot A + X = I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ es invertible la matriz obtenida del resultado del producto } \boldsymbol{P \cdot A}\textbf{. (1,5 puntos)}$

La matriz $P$ es de orden $2\times 3$ y la matriz $A$ es de orden $3\times 2$, de manera que el producto existe y es una matriz cuadrada de orden 2.

$P\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ a & 2 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$P\cdot A = \begin{pmatrix} 0(-1) + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 1 & 0(-2) + 2\cdot 1 + (-1)(-1) \\ a(-1) + 2\cdot 0 + 3\cdot 1 & a(-2) + 2\cdot 1 + 3(-1) \end{pmatrix}$

$P\cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 - a & -2a - 1 \end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

$|P\cdot A| = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 - a & -2a - 1 \end{vmatrix} = (-1)(-2a-1) - 3(3-a)$

$|P\cdot A| = 2a + 1 - 9 + 3a = 5a - 8$

$5a - 8 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{8}{5}$

La matriz $P\cdot A$ es invertible para cualquier valor real de $a$ excepto $a = \dfrac{8}{5}$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la ecuación matricial } \boldsymbol{P \cdot A + X = I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ denota la matriz identidad de orden 2. (1 punto)}$

Se despeja $X$ de la ecuación matricial. Como solo hay una suma, basta restar el producto en los dos miembros.

$P\cdot A + X = I \Rightarrow X = I - P\cdot A$

Particularizamos el producto del apartado anterior en $a = 2$:

$P\cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 - 2 & -2\cdot 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

La matriz buscada es $X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$.