Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Un grupo de biólogos está estudiando un cultivo de bacterias. La población de estas bacterias (en centenares) viene dada por la función $P(t) = a + \dfrac{12t}{t^2 + b}$, donde $a$ y $b$ son constantes positivas reales y $t \ge 0$ es el tiempo transcurrido en minutos.

Sabemos que en el instante inicial del estudio la población de bacterias era de 6 centenares y que el valor máximo de población se ha alcanzado al cabo de 2 minutos de haber iniciado el estudio.

a) Encuentre los valores de las constantes $a$ y $b$. [1,25 puntos]

b) Calcule la población máxima de bacterias y estudie su comportamiento a largo plazo, es decir, hacia qué valor se estabiliza el número de bacterias. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Encuentre los valores de las constantes } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La primera condición se traduce evaluando la función en el instante inicial, que es $t = 0$.

$P(0) = a + \dfrac{12\cdot 0}{0^2 + b} = a$

$a = 6$

La segunda condición dice que en $t = 2$ hay un máximo, y en un extremo relativo la derivada se anula. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$P'(t) = \dfrac{12(t^2 + b) - 12t\cdot 2t}{(t^2 + b)^2} = \dfrac{12b - 12t^2}{(t^2 + b)^2}$

$P'(2) = 0 \Rightarrow 12b - 12\cdot 2^2 = 0 \Rightarrow 12b = 48 \Rightarrow b = 4$

Comprobamos que en $t = 2$ hay realmente un máximo. El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo lo marca el numerador $48 - 12t^2$.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1,\quad 48 - 12 = 36 > 0 \\ \text{Si } t = 3,\quad 48 - 108 = -60 < 0 \end{cases}$

La función crece antes de $t = 2$ y decrece después, de modo que efectivamente hay un máximo.

Las constantes valen $a = 6$ y $b = 4$, y la población es $P(t) = 6 + \dfrac{12t}{t^2 + 4}$.

$\textbf{b) Calcule la población máxima de bacterias y estudie su comportamiento a largo plazo, es decir, hacia qué valor se estabiliza el número de bacterias. (1,25 puntos)}$

La población máxima es el valor de la función en el máximo, que está en $t = 2$.

$P(2) = 6 + \dfrac{12\cdot 2}{2^2 + 4} = 6 + \dfrac{24}{8} = 6 + 3 = 9$

Para el comportamiento a largo plazo se calcula el límite cuando el tiempo tiende a infinito. En el cociente el denominador tiene mayor grado que el numerador, de modo que tiende a cero.

$\lim_{t\to+\infty} P(t) = 6 + \lim_{t\to+\infty} \dfrac{12t}{t^2 + 4} = 6 + 0 = 6$

La recta $y = 6$ es asíntota horizontal de la función.

La población máxima es de $9$ centenares de bacterias, es decir, $900$ bacterias, y a largo plazo el cultivo se estabiliza en $6$ centenares, es decir, $600$ bacterias.