Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa se propone hacer dos tipos de cestas de Navidad, A y B, para los trabajadores y las trabajadoras. Cada cesta de tipo A contendrá 1 jamón, 1 botella de cava y 5 barras de turrón. Por otra parte, cada cesta de tipo B contendrá 2 jamones, 3 botellas de cava y 2 barras de turrón. El jefe de almacén afirma que disponen de 40 jamones, 120 barras de turrón y muchas botellas de cava, y que, por tanto, de cava seguro que no faltará. Se quieren hacer tantas cestas como sea posible.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. ¿Cuántas cestas de cada tipo tendrá que hacer la empresa? [1,75 puntos]

b) Una vez hecho el cálculo, la jefa de la empresa se lo repiensa y dice que es mejor hacer la misma cantidad de cestas de cada tipo. Con esta nueva condición, ¿cuántas cestas de cada tipo se tendrán que hacer? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. ¿Cuántas cestas de cada tipo tendrá que hacer la empresa? (1,75 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de cestas de tipo A e $y$ al número de cestas de tipo B. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Jamones}$	$\text{Barras de turrón}$ Cestas A (x)	x	5x Cestas B (y)	2y	2y Totales	x + 2y	5x + 2y

Se quieren hacer tantas cestas como sea posible, de manera que la función objetivo que hay que maximizar es el número total de cestas:

$N(x,y) = x + y$

Las restricciones del problema son:

Solo hay 40 jamones $\Rightarrow$ $x + 2y \le 40$.

Solo hay 120 barras de turrón $\Rightarrow$ $5x + 2y \le 120$.

El cava no impone ninguna restricción, porque el enunciado dice que no faltará.

El número de cestas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x \ge 0;\ y \ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + 2y \le 40 \\ 5x + 2y \le 120 \\ x \ge 0;\ y \ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$x + 2y = 40 \Rightarrow y = \dfrac{40 - x}{2}$

$5x + 2y = 120 \Rightarrow y = \dfrac{120 - 5x}{2}$

La región factible es la zona coloreada en azul, en el primer cuadrante y por debajo de las dos rectas.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$:

$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$:

$\begin{cases} 5x + 2y = 120 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 5x = 120 \Rightarrow x = 24 \Rightarrow A(24,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x + 2y = 40 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow 2y = 40 \Rightarrow y = 20 \Rightarrow B(0,20)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + 2y = 40 \\ 5x + 2y = 120 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$4x = 80 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow 2y = 40 - 20 = 20 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow C(20,10)$

Valoramos la función $N(x,y) = x + y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$O(0,0) \Rightarrow N(0,0) = 0$

$A(24,0) \Rightarrow N(24,0) = 24$

$B(0,20) \Rightarrow N(0,20) = 20$

$C(20,10) \Rightarrow N(20,10) = 30$

El número máximo de cestas se alcanza en el vértice $C(20,10)$.

La empresa tendrá que hacer $20$ cestas de tipo A y $10$ de tipo B, con lo que se preparan $30$ cestas en total.

$\textbf{b) Una vez hecho el cálculo, la jefa de la empresa se lo repiensa y dice que es mejor hacer la misma cantidad de cestas de cada tipo. Con esta nueva condición, ¿cuántas cestas de cada tipo se tendrán que hacer? (0,75 puntos)}$

La nueva condición añade la restricción $x = y$, así que se buscan los puntos de la región factible que están sobre esa recta. Sustituimos en las dos restricciones.

$x + 2x \le 40 \Rightarrow 3x \le 40 \Rightarrow x \le \dfrac{40}{3} = 13{,}33\ldots$

$5x + 2x \le 120 \Rightarrow 7x \le 120 \Rightarrow x \le \dfrac{120}{7} = 17{,}14\ldots$

Las dos condiciones han de cumplirse a la vez, de modo que manda la más restrictiva: $x \le 13{,}33$. Como el número de cestas ha de ser entero, el mayor valor posible es $x = 13$.

Comprobamos que con 13 cestas de cada tipo hay existencias suficientes:

$\text{Jamones} = 13 + 2\cdot 13 = 39 \le 40$

$\text{Turrón} = 5\cdot 13 + 2\cdot 13 = 91 \le 120$

Con la nueva condición hay que hacer $13$ cestas de tipo A y $13$ de tipo B, es decir, $26$ cestas en total.