Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Experimentalmente se ha comprobado que la producción de un tipo de fruta determinado que se cultiva en invernaderos depende de la temperatura, según la función $f(x) = -x^2 + 46x - 360$, donde $x$ representa la temperatura del invernadero en grados Celsius y $f(x)$ es la producción anual en centenares de kilogramos por hectárea. El precio de venta de la fruta se mantiene estable a 1,2 euros por cada kilogramo.

a) Determine el intervalo de temperaturas entre las que hay que mantener el invernadero para que haya producción de fruta. Calcule los ingresos anuales por hectárea si se mantiene el invernadero a 20 °C de temperatura. [1,25 puntos]

b) ¿A qué temperatura se obtiene la producción máxima de fruta? ¿Qué ingresos por hectárea se obtienen en este caso? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el intervalo de temperaturas entre las que hay que mantener el invernadero para que haya producción de fruta. Calcule los ingresos anuales por hectárea si se mantiene el invernadero a } \boldsymbol{20\ ^{\circ}\text{C}}\textbf{ de temperatura. (1,25 puntos)}$

Hay producción de fruta cuando la función es positiva, así que se resuelve la inecuación $f(x) > 0$. Calculamos primero los ceros.

$-x^2 + 46x - 360 = 0 \Rightarrow x^2 - 46x + 360 = 0$

$x = \dfrac{46 \pm \sqrt{46^2 - 4\cdot 360}}{2} = \dfrac{46 \pm \sqrt{2116 - 1440}}{2} = \dfrac{46 \pm 26}{2}$

$\begin{cases} x = 10 \\ x = 36 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 0,\quad f(0) = -360 < 0 \\ \text{Si } x = 20,\quad f(20) = -400 + 920 - 360 = 160 > 0 \\ \text{Si } x = 40,\quad f(40) = -1600 + 1840 - 360 = -120 < 0 \end{cases}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.



A 20 °C la producción es de 160 centenares de kilogramos por hectárea. Pasamos a kilogramos y multiplicamos por el precio de venta.

$160\cdot 100 = 16000\ \text{kg}$

$I = 16000\cdot 1{,}2 = 19200$

Hay producción de fruta si el invernadero se mantiene entre los $10$ y los $36$ grados, y a $20\ ^{\circ}$C los ingresos anuales son de $19.200$ € por hectárea.

$\textbf{b) ¿A qué temperatura se obtiene la producción máxima de fruta? ¿Qué ingresos por hectárea se obtienen en este caso? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función de producción y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x) = -2x + 46$

$f'(x) = 0 \Rightarrow -2x + 46 = 0 \Rightarrow x = 23$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$f''(x) = -2 \Rightarrow f''(23) = -2 < 0$

$f(23) = -23^2 + 46\cdot 23 - 360 = -529 + 1058 - 360 = 169$

$169\cdot 100 = 16900\ \text{kg}$

$I = 16900\cdot 1{,}2 = 20280$

La producción máxima se obtiene a $23\ ^{\circ}$C, con $16.900$ kg por hectárea, y los ingresos correspondientes son de $20.280$ € por hectárea.