Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En el instituto de Martín han elaborado tres tipos diferentes de ramos de rosas para vender el día de Sant Jordi. La opción clásica consiste en una rosa y una espiga. La opción de ramo pequeño está formada por tres rosas y dos espigas. Y, finalmente, la opción de ramo grande consiste en media docena de rosas y tres espigas. Todos los ramos (sean de la opción que sean) llevan un bonito envoltorio. Sabemos que se han utilizado 200 rosas, 135 espigas y 85 envoltorios.

a) ¿Cuántos ramos se han elaborado de cada tipo? [1,75 puntos]

b) Si el precio de venta de un ramo de la opción clásica es de 3 euros, el de un ramo pequeño es de 5 euros y el de un ramo grande es de 10 euros, ¿cuánto dinero se ingresará si se venden todos? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántos ramos se han elaborado de cada tipo? (1,75 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de ramos de la opción clásica, $y$ al de ramos pequeños y $z$ al de ramos grandes. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Rosas}$	$\text{Espigas}$	$\text{Envoltorios}$ Clásico (x)	x	x	x Pequeño (y)	3y	2y	y Grande (z)	6z	3z	z Totales	x + 3y + 6z	x + 2y + 3z	x + y + z

Media docena de rosas son 6 rosas. Traducimos a ecuaciones los tres totales del enunciado.

$\begin{cases} x + 3y + 6z = 200 \\ x + 2y + 3z = 135 \\ x + y + z = 85 \end{cases}$

Restamos la tercera ecuación de la segunda y la segunda de la primera para eliminar $x$:

$(x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 135 - 85 \Rightarrow y + 2z = 50$

$(x + 3y + 6z) - (x + 2y + 3z) = 200 - 135 \Rightarrow y + 3z = 65$

Restando ahora estas dos ecuaciones:

$z = 65 - 50 = 15 \Rightarrow y = 50 - 2\cdot 15 = 20$

$x = 85 - 20 - 15 = 50$

Comprobamos el resultado con las rosas y las espigas:

$50 + 3\cdot 20 + 6\cdot 15 = 50 + 60 + 90 = 200$

$50 + 2\cdot 20 + 3\cdot 15 = 50 + 40 + 45 = 135$

Se han elaborado $50$ ramos de la opción clásica, $20$ ramos pequeños y $15$ ramos grandes.

$\textbf{b) Si el precio de venta de un ramo de la opción clásica es de } \boldsymbol{3}\textbf{ euros, el de un ramo pequeño es de } \boldsymbol{5}\textbf{ euros y el de un ramo grande es de } \boldsymbol{10}\textbf{ euros, ¿cuánto dinero se ingresará si se venden todos? (0,75 puntos)}$

El ingreso total es la suma de los ramos de cada tipo multiplicados por su precio.

$I = 3x + 5y + 10z$

$I = 3\cdot 50 + 5\cdot 20 + 10\cdot 15 = 150 + 100 + 150 = 400$

Si se venden todos los ramos se ingresarán $400$ €.