Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2023

Una tienda vende un tipo determinado de botella de agua a 70 céntimos. Esta semana hace una oferta de 4 × 3, es decir, que si compramos cuatro botellas de agua solo pagamos tres. La tienda también ha anunciado que la próxima semana la oferta de 4 × 3 ya no estará vigente, pero, en cambio, aplicará un 20 % de descuento sobre el total de la compra que hagan los clientes.

a) Calcule el precio que tendremos que pagar por 4 botellas de agua tanto esta semana como la próxima. En lugar de un 20 %, ¿qué descuento habría que aplicar para igualar la oferta de 4 × 3? [1,5 puntos]

b) Calcule, en general, qué descuento habría que aplicar para igualar una oferta de $m \times (m-1)$; es decir, que consiste en vender $m$ botellas de agua por el precio de $m - 1$ botellas, donde $m$ es un entero mayor que 1. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el precio que tendremos que pagar por } \boldsymbol{4}\textbf{ botellas de agua tanto esta semana como la próxima. En lugar de un } \boldsymbol{20\,\%}\textbf{, ¿qué descuento habría que aplicar para igualar la oferta de } \boldsymbol{4 \times 3}\textbf{? (1,5 puntos)}$

Con la oferta de 4 × 3 se pagan tres botellas de las cuatro que uno se lleva.

$P_{4\times 3} = 3\cdot 0{,}70 = 2{,}10\ \text{€}$

La próxima semana se pagan las cuatro botellas, pero con un 20 % de descuento, de manera que se abona el 80 % del importe.

$P_{20\,\%} = 4\cdot 0{,}70\cdot (1 - 0{,}20) = 2{,}80\cdot 0{,}80 = 2{,}24\ \text{€}$

Para saber qué descuento iguala las dos ofertas llamamos $d$ al descuento expresado en tanto por uno e imponemos que los dos precios coincidan.

$2{,}80\,(1 - d) = 2{,}10$

$1 - d = \dfrac{2{,}10}{2{,}80} = 0{,}75 \Rightarrow d = 0{,}25$

Con la oferta de 4 × 3 se pagan $2{,}10$ € y con el 20 % de descuento se pagan $2{,}24$ €, de modo que la oferta de 4 × 3 sale más barata. Para igualarlas habría que aplicar un descuento del $25$ %.

$\textbf{b) Calcule, en general, qué descuento habría que aplicar para igualar una oferta de } \boldsymbol{m \times (m-1)}\textbf{; es decir, que consiste en vender } \boldsymbol{m}\textbf{ botellas de agua por el precio de } \boldsymbol{m - 1}\textbf{ botellas, donde } \boldsymbol{m}\textbf{ es un entero mayor que 1. (1 punto)}$

Repetimos el razonamiento del apartado anterior dejando indicados el precio unitario, que llamamos $p$, y el número de botellas.

Con la oferta se pagan $m - 1$ botellas:

$P_{\text{oferta}} = (m-1)\,p$

Con el descuento $d$ se pagan las $m$ botellas rebajadas:

$P_{\text{descuento}} = m\,p\,(1 - d)$

Igualamos los dos precios y despejamos el descuento. El precio unitario se simplifica, de modo que el resultado no depende de lo que valga la botella.

$m\,p\,(1 - d) = (m-1)\,p$

$1 - d = \dfrac{m-1}{m} \Rightarrow d = 1 - \dfrac{m-1}{m} = \dfrac{1}{m}$

Comprobamos el resultado con el caso del apartado anterior, en el que $m = 4$:

$d = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%$

Para igualar una oferta de $m \times (m-1)$ hay que aplicar un descuento de $\dfrac{1}{m}$, es decir, del $\dfrac{100}{m}$ %.