Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Si llamamos $I$ a la matriz identidad de orden 2, encuentre el valor de $a$ para el cual $A^2 = I$. [1 punto]

b) Para $a = -1$, calcule $A^2$, $A^3$ y $A^4$. Utilice los cálculos anteriores para deducir el valor de $A^{-1}$ y de $A^{23}$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Si llamamos } \boldsymbol{I}\textbf{ a la matriz identidad de orden } \boldsymbol{2}\textbf{, encuentre el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para el cual } \boldsymbol{A^2 = I}\textbf{. (1 punto)}$

Calculamos el cuadrado de la matriz dejando el parámetro indicado.

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + a\cdot 2 & 1\cdot a + a\cdot(-1) \\ 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 & 2\cdot a + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 0 \\ 0 & 2a + 1 \end{pmatrix}$

Los dos elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor del parámetro, así que basta imponer que los de la diagonal valgan 1.

$1 + 2a = 1 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0$

Comprobamos el resultado:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

El único valor del parámetro para el que $A^2 = I$ es $a = 0$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = -1}\textbf{, calcule } \boldsymbol{A^2}\textbf{, } \boldsymbol{A^3}\textbf{ y } \boldsymbol{A^4}\textbf{. Utilice los cálculos anteriores para deducir el valor de } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y de } \boldsymbol{A^{23}}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Con $a = -1$ la matriz es:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Aplicando la fórmula del apartado anterior con $a = -1$:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 + 2(-1) & 0 \\ 0 & 2(-1) + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$

$A^3 = A^2\cdot A = -I\cdot A = -A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^4 = A^2\cdot A^2 = (-I)(-I) = I$

De la última igualdad se deduce la inversa: si $A^4 = I$, entonces $A\cdot A^3 = I$, y por la definición de matriz inversa:

$A^{-1} = A^3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

Las potencias se repiten con periodo 4, porque $A^4 = I$. Dividimos el exponente entre 4:

$23 = 4\cdot 5 + 3$

$A^{23} = A^{4\cdot 5 + 3} = (A^4)^5\cdot A^3 = I^5\cdot A^3 = A^3$

$A^{23} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

La inversa de $A$ y la potencia $A^{23}$ coinciden, y las dos valen $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.