Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El número de nuevas personas infectadas por una enfermedad, en miles, viene dado por la función siguiente:

$f(t) = \dfrac{30t}{t^2 - 2t + 4},\qquad t \ge 0$

donde $t$ representa el tiempo transcurrido, en semanas, desde que se inició la infección.

a) ¿Cuántos enfermos se infectarán en la semana 1 y cuántos en la semana 2? ¿Podemos pensar que, a largo plazo, esta infección desaparecerá? [1 punto]

b) ¿En qué instante se produce el número máximo de infectados por esta enfermedad? ¿Cuál es este número? [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántos enfermos se infectarán en la semana } \boldsymbol{1}\textbf{ y cuántos en la semana } \boldsymbol{2}\textbf{? ¿Podemos pensar que, a largo plazo, esta infección desaparecerá? (1 punto)}$

Basta evaluar la función en las dos semanas pedidas, teniendo en cuenta que el resultado viene expresado en miles de personas.

$f(1) = \dfrac{30\cdot 1}{1^2 - 2\cdot 1 + 4} = \dfrac{30}{3} = 10$

$f(2) = \dfrac{30\cdot 2}{2^2 - 2\cdot 2 + 4} = \dfrac{60}{4} = 15$

Para saber qué ocurre a largo plazo se calcula el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito. Es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

$\lim_{t\to+\infty} \dfrac{30t}{t^2 - 2t + 4} = \lim_{t\to+\infty} \dfrac{\dfrac{30}{t}}{1 - \dfrac{2}{t} + \dfrac{4}{t^2}} = \dfrac{0}{1} = 0$

La recta $y = 0$ es asíntota horizontal de la función.

En la semana 1 se infectan $10.000$ personas y en la semana 2, $15.000$. Como el número de nuevos infectados tiende a cero, sí se puede pensar que a largo plazo la infección desaparecerá.

$\textbf{b) ¿En qué instante se produce el número máximo de infectados por esta enfermedad? ¿Cuál es este número? (1,5 puntos)}$

Derivamos la función aplicando la regla del cociente y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(t) = \dfrac{30(t^2 - 2t + 4) - 30t(2t - 2)}{(t^2 - 2t + 4)^2}$

$f'(t) = \dfrac{30t^2 - 60t + 120 - 60t^2 + 60t}{(t^2 - 2t + 4)^2} = \dfrac{-30t^2 + 120}{(t^2 - 2t + 4)^2}$

$f'(t) = 0 \Rightarrow -30t^2 + 120 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = \pm 2$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función, que es $t \ge 0$.

El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo de $f'$ lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1,\quad -30 + 120 = 90 > 0 \\ \text{Si } t = 4,\quad -480 + 120 = -360 < 0 \end{cases}$

La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$, de modo que en $t = 2$ hay un máximo.



$f(2) = \dfrac{60}{4} = 15$

El número máximo de nuevos infectados se produce en la semana $2$, y es de $15.000$ personas.