Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una cooperativa de agricultores vende naranjas y mandarinas en dos tipos de cajas. La caja A contiene 8 kg de naranjas y 2 kg de mandarinas, y la caja B contiene 5 kg de naranjas y 5 kg de mandarinas. Este año la producción de naranjas ha sido de 24.000 kg y la de mandarinas, de 12.000 kg. El precio de venta de las naranjas es de 0,60 €/kg y el de las mandarinas, de 0,70 €/kg.

Los agricultores de la cooperativa quieren saber cuántas cajas de cada tipo han de vender para maximizar los ingresos.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) Determine cuántas cajas de cada tipo hay que vender para obtener el máximo de ingresos y cuáles serían estos ingresos. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de cajas de tipo A e $y$ al número de cajas de tipo B. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Kg de naranjas}$	$\text{Kg de mandarinas}$	$\text{Ingresos}$ Cajas A (x)	8x	2x	6,2x Cajas B (y)	5y	5y	6,5y Totales	8x + 5y	2x + 5y	6,2x + 6,5y

El ingreso de cada caja es el que se obtiene vendiendo la fruta que lleva dentro:

$\text{Caja A} \Rightarrow 8\cdot 0{,}60 + 2\cdot 0{,}70 = 4{,}80 + 1{,}40 = 6{,}20\ \text{€}$

$\text{Caja B} \Rightarrow 5\cdot 0{,}60 + 5\cdot 0{,}70 = 3{,}00 + 3{,}50 = 6{,}50\ \text{€}$

La función objetivo que queremos maximizar es el ingreso total:

$I(x,y) = 6{,}2x + 6{,}5y$

Las restricciones del problema son:

La producción de naranjas es de 24.000 kg $\Rightarrow$ $8x + 5y \le 24000$.

La producción de mandarinas es de 12.000 kg $\Rightarrow$ $2x + 5y \le 12000$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x \ge 0;\ y \ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 8x + 5y \le 24000 \\ 2x + 5y \le 12000 \\ x \ge 0;\ y \ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$8x + 5y = 24000 \Rightarrow y = \dfrac{24000 - 8x}{5}$

$2x + 5y = 12000 \Rightarrow y = \dfrac{12000 - 2x}{5}$

La región factible es la zona coloreada en azul, en el primer cuadrante y por debajo de las dos rectas.



$\textbf{b) Determine cuántas cajas de cada tipo hay que vender para obtener el máximo de ingresos y cuáles serían estos ingresos. (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$:

$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$:

$\begin{cases} 8x + 5y = 24000 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 8x = 24000 \Rightarrow x = 3000 \Rightarrow A(3000,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} 2x + 5y = 12000 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow 5y = 12000 \Rightarrow y = 2400 \Rightarrow B(0,2400)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 8x + 5y = 24000 \\ 2x + 5y = 12000 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera:

$6x = 12000 \Rightarrow x = 2000 \Rightarrow 5y = 12000 - 4000 = 8000 \Rightarrow y = 1600 \Rightarrow C(2000,1600)$

Valoramos la función de ingresos $I(x,y) = 6{,}2x + 6{,}5y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$O(0,0) \Rightarrow I(0,0) = 0$

$A(3000,0) \Rightarrow I(3000,0) = 6{,}2\cdot 3000 = 18600$

$B(0,2400) \Rightarrow I(0,2400) = 6{,}5\cdot 2400 = 15600$

$C(2000,1600) \Rightarrow I(2000,1600) = 6{,}2\cdot 2000 + 6{,}5\cdot 1600 = 12400 + 10400 = 22800$

El ingreso máximo se produce en el vértice $C(2000,1600)$.

La cooperativa ha de vender $2000$ cajas de tipo A y $1600$ cajas de tipo B, con lo que obtendrá unos ingresos máximos de $22.800$ €.