Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Un fabricante de vehículos eléctricos ha sacado al mercado un modelo nuevo con tanto éxito que vende todos los que fabrica. El precio de venta de cada coche es de 35.000 €. Fabricar un cierto número de coches le supone unos gastos de $C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100$ euros, donde $x$ representa el número de vehículos fabricados.

a) ¿Entre qué valores ha de mantener la producción para no tener pérdidas? [1,25 puntos]

b) ¿Cuántos vehículos ha de fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Qué valor toma este beneficio máximo? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Entre qué valores ha de mantener la producción para no tener pérdidas? (1,25 puntos)}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos. Como se vende todo lo que se fabrica, los ingresos son el precio de venta por el número de coches.

$I(x) = 35000x$

$B(x) = I(x) - C(x) = 35000x - (x^2 + 34880x + 1100)$

$B(x) = -x^2 + 120x - 1100$

No tener pérdidas significa que el beneficio no sea negativo, así que se resuelve la inecuación $B(x) \ge 0$. Calculamos primero los ceros.

$-x^2 + 120x - 1100 = 0 \Rightarrow x^2 - 120x + 1100 = 0$

$x = \dfrac{120 \pm \sqrt{120^2 - 4\cdot 1100}}{2} = \dfrac{120 \pm \sqrt{14400 - 4400}}{2} = \dfrac{120 \pm 100}{2}$

$\begin{cases} x = 10 \\ x = 110 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 5,\quad B(5) = -25 + 600 - 1100 = -525 < 0 \\ \text{Si } x = 50,\quad B(50) = -2500 + 6000 - 1100 = 2400 > 0 \\ \text{Si } x = 200,\quad B(200) = -40000 + 24000 - 1100 = -17100 < 0 \end{cases}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.

Para no tener pérdidas, el fabricante ha de producir entre $10$ y $110$ vehículos.



$\textbf{b) ¿Cuántos vehículos ha de fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Qué valor toma este beneficio máximo? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(x) = -2x + 120$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -2x + 120 = 0 \Rightarrow x = 60$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x) = -2 \Rightarrow B''(60) = -2 < 0$

$B(60) = -60^2 + 120\cdot 60 - 1100 = -3600 + 7200 - 1100 = 2500$

El beneficio es máximo fabricando $60$ vehículos, y ese beneficio máximo es de $2500$ €.