Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas CCSS · 2023

Cuando se diseñan los escalones de una escalera hay diversos parámetros que hay que tener en cuenta, dos de los cuales son la huella (la parte horizontal del escalón, donde se pone el pie) y la contrahuella (la parte vertical del peldaño, es decir, la altura).



El arquitecto francés François Blondel estableció a finales del siglo XVII que la relación ideal entre estas dos magnitudes era que la suma de dos contrahuellas más una huella fuese igual a 64 cm.

Llamamos $y$ a la longitud de la contrahuella y $x$ a la longitud de la huella.

a) Encuentre la función que permite calcular la longitud ideal de la contrahuella en función de la longitud de la huella. ¿Cuál sería la longitud ideal de la contrahuella si la huella es de 28 cm? [1 punto]

b) La normativa actual establece que en el diseño de escaleras de uso público hay que hacer que la huella sea como mínimo de 28 cm y que la contrahuella esté comprendida entre 13 y 18,5 cm. Además, la suma de dos contrahuellas más una huella ha de estar entre 54 y 70 cm. Escriba estas tres condiciones en función de $x$ y de $y$. Si queremos construir una escalera con escalones de 40 cm de huella, calcule entre qué valores ha de estar comprendida la contrahuella para cumplir con la normativa actual. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre la función que permite calcular la longitud ideal de la contrahuella en función de la longitud de la huella. ¿Cuál sería la longitud ideal de la contrahuella si la huella es de } \boldsymbol{28}\textbf{ cm? (1 punto)}$

La regla de Blondel dice que dos contrahuellas más una huella suman 64 cm. Traducimos esa frase a una ecuación y despejamos la contrahuella.

$2y + x = 64$

$2y = 64 - x \Rightarrow y = \dfrac{64 - x}{2} = 32 - \dfrac{x}{2}$

Evaluamos la función en una huella de 28 cm:

$y = 32 - \dfrac{28}{2} = 32 - 14 = 18$

La contrahuella ideal en función de la huella es $y = 32 - \dfrac{x}{2}$ centímetros, y para una huella de $28$ cm la contrahuella ideal sería de $18$ cm.

$\textbf{b) Escriba estas tres condiciones en función de } \boldsymbol{x}\textbf{ y de } \boldsymbol{y}\textbf{. Si queremos construir una escalera con escalones de } \boldsymbol{40}\textbf{ cm de huella, calcule entre qué valores ha de estar comprendida la contrahuella para cumplir con la normativa actual. (1,5 puntos)}$

Escribimos las tres condiciones de la normativa como inecuaciones.

La huella ha de medir como mínimo 28 cm:

$x \ge 28$

La contrahuella ha de estar entre 13 y 18,5 cm:

$13 \le y \le 18{,}5$

La suma de dos contrahuellas más una huella ha de estar entre 54 y 70 cm:

$54 \le 2y + x \le 70$

Imponemos ahora que la huella mida 40 cm. La primera condición se cumple, porque $40 \ge 28$. La tercera se convierte en una doble inecuación con una sola incógnita:

$54 \le 2y + 40 \le 70$

$14 \le 2y \le 30 \Rightarrow 7 \le y \le 15$

La contrahuella ha de cumplir a la vez las dos condiciones que la afectan, de modo que se toma la intersección de los dos intervalos.

$[13,\ 18{,}5] \cap [7,\ 15] = [13,\ 15]$

Con escalones de $40$ cm de huella, la contrahuella ha de medir entre $13$ y $15$ cm para cumplir con la normativa actual.