Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El número de kilogramos de comida que han gastado en un albergue de animales durante una semana concreta se puede calcular mediante la función $f(t) = 10\left(-\dfrac{t^3}{8} + \dfrac{3t^2}{2} - \dfrac{9t}{2} + 10\right)$, donde $t$ es el tiempo en días y va desde el día $t = 1$ (lunes) hasta el día $t = 8$ (lunes de la semana siguiente).

a) Calcule cuántos kilogramos de comida se gastaron el primer lunes y el lunes siguiente. Encuentre qué día de aquella semana se gastaron 100 kg de comida. [1 punto]

b) Determine los días de la semana en los que el gasto en comida fue mayor y los días en los que fue menor. ¿Cuántos kilogramos de comida se gastaron esos días? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule cuántos kilogramos de comida se gastaron el primer lunes y el lunes siguiente. Encuentre qué día de aquella semana se gastaron } \boldsymbol{100}\textbf{ kg de comida. (1 punto)}$

El primer lunes corresponde a $t = 1$ y el lunes siguiente a $t = 8$, de modo que basta evaluar la función en esos dos valores.

$f(1) = 10\left(-\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{9}{2} + 10\right) = 10\cdot \dfrac{55}{8} = \dfrac{275}{4} = 68{,}75$

$f(8) = 10\left(-\dfrac{512}{8} + \dfrac{3\cdot 64}{2} - \dfrac{72}{2} + 10\right) = 10(-64 + 96 - 36 + 10) = 60$

Para saber qué día se gastaron 100 kg se iguala la función a ese valor.

$10\left(-\dfrac{t^3}{8} + \dfrac{3t^2}{2} - \dfrac{9t}{2} + 10\right) = 100$

$-\dfrac{t^3}{8} + \dfrac{3t^2}{2} - \dfrac{9t}{2} + 10 = 10 \Rightarrow -\dfrac{t^3}{8} + \dfrac{3t^2}{2} - \dfrac{9t}{2} = 0$

Multiplicamos por $-8$ y sacamos factor común:

$t^3 - 12t^2 + 36t = 0 \Rightarrow t\,(t^2 - 12t + 36) = 0 \Rightarrow t\,(t-6)^2 = 0$

$\begin{cases} t = 0 \\ t = 6 \end{cases}$

Se descarta $t = 0$ por no pertenecer al dominio de la función, que es el intervalo $[1,8]$.

El primer lunes se gastaron $68{,}75$ kg de comida y el lunes siguiente $60$ kg. Los 100 kg se gastaron el día $t = 6$, es decir, el sábado.

$\textbf{b) Determine los días de la semana en los que el gasto en comida fue mayor y los días en los que fue menor. ¿Cuántos kilogramos de comida se gastaron esos días? (1,5 puntos)}$

Se buscan los extremos absolutos de la función en el intervalo cerrado $[1,8]$, así que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Derivamos e igualamos a cero.

$f'(t) = 10\left(-\dfrac{3t^2}{8} + 3t - \dfrac{9}{2}\right)$

$f'(t) = 0 \Rightarrow -\dfrac{3t^2}{8} + 3t - \dfrac{9}{2} = 0$

Multiplicamos por $-\dfrac{8}{3}$:

$t^2 - 8t + 12 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \dfrac{8 \pm 4}{2}$

$\begin{cases} t = 2 \\ t = 6 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1{,}5,\quad f'(1{,}5) = 10\left(-\dfrac{3\cdot 2{,}25}{8} + 4{,}5 - 4{,}5\right) < 0 \\ \text{Si } t = 4,\quad f'(4) = 10\left(-6 + 12 - 4{,}5\right) = 15 > 0 \\ \text{Si } t = 7,\quad f'(7) = 10\left(-\dfrac{147}{8} + 21 - 4{,}5\right) < 0 \end{cases}$

La función decrece en $(1,2)$, crece en $(2,6)$ y vuelve a decrecer en $(6,8)$, de modo que hay un mínimo relativo en $t = 2$ y un máximo relativo en $t = 6$.



Calculamos los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

$f(1) = 68{,}75$

$f(2) = 10(-1 + 6 - 9 + 10) = 60$

$f(6) = 10(-27 + 54 - 27 + 10) = 100$

$f(8) = 60$

Comparando los cuatro valores:

$60 = 60 < 68{,}75 < 100$

El gasto fue mayor el sábado ($t = 6$), con $100$ kg de comida, y fue menor el martes ($t = 2$) y el lunes siguiente ($t = 8$), con $60$ kg en cada uno de los dos días.