Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de Menorca quiere ofrecer dos tipos de actividades: bautizos de submarinismo desde una barca y excursiones en barca por la costa para bañarse en calas. El bautizo de submarinismo tiene un precio de 60 euros por persona y en cada embarcación irán 10 participantes y 5 instructores. La excursión por la costa tiene un precio de 18 euros por persona y en cada embarcación irán 25 participantes y 2 instructores. La empresa dispone de 30 embarcaciones iguales y de 75 instructores que pueden hacer salidas de submarinismo o excursiones en barca por las calas indistintamente. Su intención es obtener el máximo de ingresos suponiendo que llenará todas las embarcaciones.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuántas salidas de cada tipo ha de ofrecer la empresa cada día para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuánto dinero ingresará diariamente? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de salidas diarias de submarinismo e $y$ al número de excursiones diarias por la costa. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Embarcaciones}$	$\text{Instructores}$	$\text{Ingresos}$ Submarinismo (x)	x	5x	600x Excursión (y)	y	2y	450y Totales	x + y	5x + 2y	600x + 450y

Cada salida de submarinismo lleva 10 participantes a 60 euros, de manera que aporta $10\cdot 60 = 600$ euros; cada excursión lleva 25 participantes a 18 euros, es decir, $25\cdot 18 = 450$ euros. La función objetivo que queremos maximizar es el ingreso diario:

$I(x,y) = 600x + 450y$

Las restricciones del problema son:

Cada salida ocupa una embarcación y la empresa tiene 30 $\Rightarrow$ $x + y \le 30$.

Cada salida de submarinismo ocupa 5 instructores y cada excursión 2, y hay 75 disponibles $\Rightarrow$ $5x + 2y \le 75$.

El número de salidas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x \ge 0;\ y \ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + y \le 30 \\ 5x + 2y \le 75 \\ x \ge 0;\ y \ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$x + y = 30 \Rightarrow y = 30 - x$

$5x + 2y = 75 \Rightarrow y = \dfrac{75 - 5x}{2}$

La región factible es la zona coloreada en azul, en el primer cuadrante y por debajo de las dos rectas.



$\textbf{b) ¿Cuántas salidas de cada tipo ha de ofrecer la empresa cada día para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuánto dinero ingresará diariamente? (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$:

$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$:

$\begin{cases} 5x + 2y = 75 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15 \Rightarrow A(15,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow y = 30 \Rightarrow B(0,30)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 5x + 2y = 75 \end{cases}$

Despejamos $x = 30 - y$ en la primera y sustituimos en la segunda:

$5(30 - y) + 2y = 75 \Rightarrow 150 - 3y = 75 \Rightarrow y = 25 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow C(5,25)$

Valoramos la función de ingresos $I(x,y) = 600x + 450y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$O(0,0) \Rightarrow I(0,0) = 0$

$A(15,0) \Rightarrow I(15,0) = 600\cdot 15 = 9000$

$B(0,30) \Rightarrow I(0,30) = 450\cdot 30 = 13500$

$C(5,25) \Rightarrow I(5,25) = 600\cdot 5 + 450\cdot 25 = 3000 + 11250 = 14250$

El ingreso máximo se produce en el vértice $C(5,25)$.

La empresa ha de ofrecer cada día $5$ salidas de submarinismo y $25$ excursiones por la costa, con lo que ingresará $14.250$ € diarios.