Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Roberto ha hecho tres pruebas de una asignatura. Haciendo la media aritmética de las notas obtenidas en cada una de las tres pruebas le ha quedado una nota global de 6. Roberto sabe que la nota de la tercera prueba ha sido igual que la media aritmética de las notas de las otras dos pruebas.

a) Con esta información, ¿puede saber alguna de las tres notas? En caso afirmativo, ¿de qué prueba y cuál sería la nota obtenida? [1,25 puntos]

b) La profesora le dice que ha sido muy irregular y que si solo se tuvieran en cuenta las notas de las dos últimas pruebas habría obtenido una media de 7. ¿Qué nota ha obtenido en cada prueba? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Con esta información, ¿puede saber alguna de las tres notas? En caso afirmativo, ¿de qué prueba y cuál sería la nota obtenida? (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a las notas de la primera, la segunda y la tercera prueba, respectivamente. Traducimos a ecuaciones los dos datos del enunciado.

La media de las tres pruebas es 6:

$\dfrac{x + y + z}{3} = 6 \Rightarrow x + y + z = 18$

La tercera nota es la media de las otras dos:

$z = \dfrac{x + y}{2} \Rightarrow x + y = 2z$

$\begin{cases} x + y + z = 18 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}$

Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, así que es compatible indeterminado y no permite determinar las tres notas. En cambio, sustituyendo la segunda ecuación en la primera se despeja una de ellas:

$2z + z = 18 \Rightarrow 3z = 18 \Rightarrow z = 6$

Con estos dos datos no se pueden saber las tres notas, porque el sistema es compatible indeterminado, pero sí se conoce la de la tercera prueba, que es un $6$.

$\textbf{b) La profesora le dice que ha sido muy irregular y que si solo se tuvieran en cuenta las notas de las dos últimas pruebas habría obtenido una media de } \boldsymbol{7}\textbf{. ¿Qué nota ha obtenido en cada prueba? (1,25 puntos)}$

La nueva condición aporta la tercera ecuación que le faltaba al sistema.

$\dfrac{y + z}{2} = 7 \Rightarrow y + z = 14$

Como del apartado anterior sabemos que $z = 6$:

$y + 6 = 14 \Rightarrow y = 8$

Y sustituyendo en la primera ecuación:

$x + 8 + 6 = 18 \Rightarrow x = 4$

Comprobamos que las tres notas cumplen las tres condiciones:

$\dfrac{4 + 8 + 6}{3} = 6,\qquad \dfrac{4 + 8}{2} = 6 = z,\qquad \dfrac{8 + 6}{2} = 7$

Roberto ha obtenido un $4$ en la primera prueba, un $8$ en la segunda y un $6$ en la tercera.