Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Un centro cívico ofrece cursos de francés de nivel principiante, intermedio y avanzado. Los alumnos inscritos, si lo desean, tienen garantizada una plaza para el curso siguiente. Es por eso que, antes de acabar el curso, se hacen las reservas de plaza para el curso que viene. Del alumnado de nivel principiante, un 15 % quiere repetir el mismo curso, un 50 % quiere hacer el curso intermedio y un 5 % quiere pasar directamente al curso de nivel avanzado. Por lo que respecta al alumnado de nivel intermedio, un 10 % quiere repetir el curso y un 60 % quiere hacer el curso de nivel avanzado. Finalmente, del alumnado de nivel avanzado, un 20 % quiere repetir el curso. Ningún alumno pide reserva de plaza para un curso de nivel inferior y el resto de alumnos no quieren continuar en el centro el curso que viene. Este año ha habido 100 alumnos matriculados de nivel principiante, 90 de nivel intermedio y 60 de nivel avanzado.

a) Calcule el número de plazas que hay que reservar de cada nivel para el curso siguiente mediante un producto de matrices. [1,25 puntos]

b) El mismo centro cívico ofrece dos horarios de yoga, uno de mañana y uno de tarde. Para el próximo curso, el 50 % de los alumnos que actualmente hacen yoga por la mañana quieren continuar con el mismo horario, mientras que un 30 % quieren pasar al horario de tarde. El resto de alumnos de mañana no continuarán. Por lo que respecta a los alumnos que actualmente hacen yoga por la tarde, un 40 % quieren pasar al horario de mañana y un 60 % quieren continuar haciendo el horario de tarde. Si sabemos que para el curso siguiente hay que reservar 49 plazas para el horario de mañana y 51 plazas para el horario de tarde, ¿cuántos alumnos hay matriculados actualmente en cada horario? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el número de plazas que hay que reservar de cada nivel para el curso siguiente mediante un producto de matrices. (1,25 puntos)}$

Ordenamos los porcentajes en una matriz en la que cada columna es el nivel de procedencia y cada fila el nivel que se reserva. Los alumnos que no continúan no aportan reservas, así que simplemente no aparecen.

$M = \begin{pmatrix} 0{,}15 & 0 & 0 \\ 0{,}50 & 0{,}10 & 0 \\ 0{,}05 & 0{,}60 & 0{,}20 \end{pmatrix}$

La primera fila recoge las reservas de nivel principiante, la segunda las de nivel intermedio y la tercera las de nivel avanzado. Los ceros por encima de la diagonal reflejan que nadie pide plaza para un curso de nivel inferior.

El número de matriculados de este curso se escribe como una matriz columna.

$v = \begin{pmatrix} 100 \\ 90 \\ 60 \end{pmatrix}$

$M\cdot v = \begin{pmatrix} 0{,}15 & 0 & 0 \\ 0{,}50 & 0{,}10 & 0 \\ 0{,}05 & 0{,}60 & 0{,}20 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 90 \\ 60 \end{pmatrix}$

$M\cdot v = \begin{pmatrix} 0{,}15\cdot 100 \\ 0{,}50\cdot 100 + 0{,}10\cdot 90 \\ 0{,}05\cdot 100 + 0{,}60\cdot 90 + 0{,}20\cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 50 + 9 \\ 5 + 54 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 59 \\ 71 \end{pmatrix}$

Hay que reservar $15$ plazas de nivel principiante, $59$ de nivel intermedio y $71$ de nivel avanzado.

$\textbf{b) Si sabemos que para el curso siguiente hay que reservar } \boldsymbol{49}\textbf{ plazas para el horario de mañana y } \boldsymbol{51}\textbf{ plazas para el horario de tarde, ¿cuántos alumnos hay matriculados actualmente en cada horario? (1,25 puntos)}$

Llamamos $m$ al número de alumnos matriculados actualmente en el horario de mañana y $t$ a los del horario de tarde. Se repite el planteamiento del apartado anterior, pero ahora se conoce el resultado del producto y se busca la matriz de partida.

$\begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}40 \\ 0{,}30 & 0{,}60 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} m \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 \\ 51 \end{pmatrix}$

Desarrollando el producto se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$\begin{cases} 0{,}50m + 0{,}40t = 49 \\ 0{,}30m + 0{,}60t = 51 \end{cases}$

Multiplicamos las dos ecuaciones por 10 para trabajar con números enteros:

$\begin{cases} 5m + 4t = 490 \\ 3m + 6t = 510 \end{cases}$

La segunda ecuación se puede dividir entre 3:

$m + 2t = 170 \Rightarrow m = 170 - 2t$

Sustituimos en la primera ecuación:

$5(170 - 2t) + 4t = 490 \Rightarrow 850 - 10t + 4t = 490$

$-6t = -360 \Rightarrow t = 60 \Rightarrow m = 170 - 120 = 50$

Comprobamos el resultado:

$0{,}50\cdot 50 + 0{,}40\cdot 60 = 25 + 24 = 49$

$0{,}30\cdot 50 + 0{,}60\cdot 60 = 15 + 36 = 51$

Actualmente hay $50$ alumnos matriculados en el horario de mañana y $60$ en el de tarde.