Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

El precio de un vuelo entre Barcelona e Islandia es de 500 €. Una compañía aérea tiene capacidad para 300 pasajeros diarios, pero hay una determinada época del año en la que solo vende 180 billetes. Después de hacer un estudio de mercado, la compañía se da cuenta de que la relación entre el precio del billete y el número de pasajeros es lineal, de manera que por cada 5 € de descuento en el precio del billete consigue dos pasajeros más.

a) Si llamamos $x$ al número de veces que se aplica el descuento, escriba la función que da los ingresos diarios de la compañía por la venta de billetes en función de $x$. [1 punto]

b) ¿A qué precio hay que vender cada billete para obtener el máximo de ingresos? ¿Qué ingresos se obtendrán con este precio? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Si llamamos } \boldsymbol{x}\textbf{ al número de veces que se aplica el descuento, escriba la función que da los ingresos diarios de la compañía por la venta de billetes en función de } \boldsymbol{x}\textbf{. (1 punto)}$

Cada vez que se aplica el descuento el precio baja 5 € y el número de pasajeros sube en 2, de modo que si el descuento se aplica $x$ veces:

$\text{Precio del billete} = 500 - 5x$

$\text{Número de pasajeros} = 180 + 2x$

Los ingresos diarios son el precio del billete multiplicado por el número de billetes vendidos.

$I(x) = (500 - 5x)(180 + 2x)$

$I(x) = 90000 + 1000x - 900x - 10x^2$

$I(x) = -10x^2 + 100x + 90000$

Los ingresos diarios en función del número de descuentos aplicados son $I(x) = -10x^2 + 100x + 90000$ euros.

$\textbf{b) ¿A qué precio hay que vender cada billete para obtener el máximo de ingresos? ¿Qué ingresos se obtendrán con este precio? (1,5 puntos)}$

Derivamos la función de ingresos y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$I'(x) = -20x + 100$

$I'(x) = 0 \Rightarrow -20x + 100 = 0 \Rightarrow x = 5$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$I''(x) = -20 \Rightarrow I''(5) = -20 < 0$

Con cinco descuentos aplicados, el precio y el número de pasajeros son:

$\text{Precio} = 500 - 5\cdot 5 = 475\ \text{€}$

$\text{Pasajeros} = 180 + 2\cdot 5 = 190$

Los 190 pasajeros caben en el avión, porque la capacidad diaria es de 300, de manera que la solución es válida.

$I(5) = -10\cdot 5^2 + 100\cdot 5 + 90000 = -250 + 500 + 90000 = 90250$

Los ingresos son máximos vendiendo el billete a $475$ €, con lo que viajan $190$ pasajeros y la compañía ingresa $90.250$ € diarios.