Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Una empresa de autobuses afirma que hace el trayecto entre el aeropuerto y el centro de la ciudad en 30 minutos. Hemos obtenido una muestra del tiempo, en minutos, que ha tardado en 10 trayectos elegidos al azar:

$33,\ 29,\ 28,\ 31,\ 34,\ 35,\ 32,\ 29,\ 37,\ 35$

a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de trayecto, suponiendo que este tiempo sigue una distribución normal con una desviación típica de 2 minutos.

Nota: Recuerde que, si $Z$ sigue una distribución normal $(0,1)$, $P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$. Recuerde también que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$ cuando la varianza $\sigma^2$ es conocida viene dado por $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$. [1,5 puntos]

b) A partir del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿podemos afirmar que la información que proporciona la empresa de autobuses es errónea? Justifique la respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Construya un intervalo de confianza del } \boldsymbol{95\,\%}\textbf{ para la media del tiempo de trayecto, suponiendo que este tiempo sigue una distribución normal con una desviación típica de } \boldsymbol{2}\textbf{ minutos. (1,5 puntos)}$

Se calcula primero la media de la muestra, que es el centro del intervalo.

$\bar x = \dfrac{33 + 29 + 28 + 31 + 34 + 35 + 32 + 29 + 37 + 35}{10} = \dfrac{323}{10} = 32{,}3$

Como la desviación típica poblacional es conocida, se aplica la fórmula del enunciado con $\sigma = 2$, $n = 10$ y $z_{\gamma} = 1{,}96$, que es el valor que deja el 95 % central en la normal estándar.

$E = z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}96\cdot \dfrac{2}{\sqrt{10}} = \dfrac{3{,}92}{3{,}1623} \approx 1{,}24$

$\left[\bar x - E,\ \bar x + E\right] = \left[32{,}3 - 1{,}24,\ 32{,}3 + 1{,}24\right]$

$\left[31{,}06,\ 33{,}54\right]$

Con una confianza del 95 %, la media del tiempo de trayecto está entre $31{,}06$ y $33{,}54$ minutos.

$\textbf{b) A partir del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿podemos afirmar que la información que proporciona la empresa de autobuses es errónea? Justifique la respuesta. (1 punto)}$

Basta comprobar si el valor que anuncia la empresa pertenece al intervalo de confianza obtenido.

$30 \notin \left[31{,}06,\ 33{,}54\right]$

El valor 30 queda por debajo del extremo inferior del intervalo, de manera que, con el nivel de confianza fijado, no es un valor admisible para la media del tiempo de trayecto. Además, los diez tiempos observados dan una media claramente superior a 30 minutos.

Sí se puede afirmar, con una confianza del 95 %, que la información de la empresa es errónea: los 30 minutos que anuncia quedan fuera del intervalo $\left[31{,}06,\ 33{,}54\right]$ y el trayecto dura, de media, más de lo que dice.