Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Un cine dispone de dos salas en las que se proyectan dos películas diferentes. La tabla siguiente muestra el número de personas que han asistido a la proyección de cada película la última semana, agrupadas por franjas de edad:

$\text{Franja de edad}$	$\text{Película de la sala 1}$	$\text{Película de la sala 2}$ Menos de 18 años	122	620 18-65 años	930	433 Más de 65 años	384	281

La información de la tabla anterior se registra con la forma matricial $A = \begin{pmatrix} 122 & 620 \\ 930 & 433 \\ 384 & 281 \end{pmatrix}$.

a) Considerando la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, calcule el producto $A \cdot B$. Explique el significado de la matriz obtenida.

Sabemos que una entrada para personas de menos de 18 años cuesta 5 €, una entrada para adultos de entre 18 y 65 años cuesta 8,5 € y una entrada para adultos de más de 65 años cuesta 6,5 €. Encuentre una matriz $C = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ de manera que el producto $C \cdot A \cdot B$ dé los ingresos semanales totales obtenidos por la venta de entradas, y calcule los ingresos correspondientes a esta semana. [1,5 puntos]

b) Al cabo de unos meses, el registro semanal viene dado por la matriz $D = \begin{pmatrix} 84 & 23 \\ 338 & x \\ 256 & 408 \end{pmatrix}$, pero hay un valor que se ha borrado, el del número de personas entre 18 y 65 años que han asistido a la segunda película, y lo hemos denotado por $x$. Calcule el valor de $x$ sabiendo que los ingresos totales de aquella semana fueron de 12.076 €. [1 punto]

$\textbf{a) Considerando la matriz } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule el producto } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{. Explique el significado de la matriz obtenida. Encuentre una matriz } \boldsymbol{C = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}}\textbf{ de manera que el producto } \boldsymbol{C \cdot A \cdot B}\textbf{ dé los ingresos semanales totales obtenidos por la venta de entradas, y calcule los ingresos correspondientes a esta semana. (1,5 puntos)}$

Multiplicamos la matriz de asistentes por la columna de unos. Al ser $A$ de orden $3\times 2$ y $B$ de orden $2\times 1$, el producto es una matriz de orden $3\times 1$.

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 122 & 620 \\ 930 & 433 \\ 384 & 281 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 122 + 620 \\ 930 + 433 \\ 384 + 281 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 742 \\ 1363 \\ 665 \end{pmatrix}$

Cada elemento de $A\cdot B$ es la suma de la fila correspondiente de $A$, es decir, el número total de espectadores de esa franja de edad sumando las dos salas: 742 menores de 18 años, 1.363 personas de entre 18 y 65 años y 665 mayores de 65 años.

Para obtener los ingresos hay que multiplicar cada total por el precio de su entrada y sumar los tres productos. Eso es justamente lo que hace una matriz fila con los tres precios multiplicando por la izquierda.

$C = \begin{pmatrix} 5 & 8{,}5 & 6{,}5 \end{pmatrix}$

$C\cdot (A\cdot B) = \begin{pmatrix} 5 & 8{,}5 & 6{,}5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 742 \\ 1363 \\ 665 \end{pmatrix}$

$C\cdot (A\cdot B) = 5\cdot 742 + 8{,}5\cdot 1363 + 6{,}5\cdot 665$

$C\cdot (A\cdot B) = 3710 + 11585{,}5 + 4322{,}5 = 19618$

La matriz $A\cdot B$ da el total de espectadores de cada franja de edad, la matriz buscada es $C = \begin{pmatrix} 5 & 8{,}5 & 6{,}5 \end{pmatrix}$ y los ingresos de esa semana fueron de $19.618$ €.

$\textbf{b) Al cabo de unos meses, el registro semanal viene dado por la matriz } \boldsymbol{D = \begin{pmatrix} 84 & 23 \\ 338 & x \\ 256 & 408 \end{pmatrix}}\textbf{, pero hay un valor que se ha borrado, el del número de personas entre 18 y 65 años que han asistido a la segunda película, y lo hemos denotado por } \boldsymbol{x}\textbf{. Calcule el valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ sabiendo que los ingresos totales de aquella semana fueron de } \boldsymbol{12.076}\textbf{ €. (1 punto)}$

Se repite el cálculo del apartado anterior con la nueva matriz de asistentes y se impone que los ingresos valgan 12.076 €.

$D\cdot B = \begin{pmatrix} 84 + 23 \\ 338 + x \\ 256 + 408 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 107 \\ 338 + x \\ 664 \end{pmatrix}$

$C\cdot D\cdot B = 5\cdot 107 + 8{,}5\cdot (338 + x) + 6{,}5\cdot 664$

$C\cdot D\cdot B = 535 + 2873 + 8{,}5x + 4316 = 7724 + 8{,}5x$

$7724 + 8{,}5x = 12076 \Rightarrow 8{,}5x = 4352 \Rightarrow x = \dfrac{4352}{8{,}5} = 512$

A la segunda película asistieron $512$ personas de entre 18 y 65 años.