Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Ona quiere construir una caja de cartón de base cuadrada y abierta (sin tapa) para poner rotuladores y colores, como la de la figura siguiente:



La caja ha de tener un volumen de 4 litros.

a) Exprese la altura de la caja ($y$) en función de la longitud del lado de la base ($x$). [0,5 puntos]

b) Ona quiere utilizar el mínimo de cartón posible para construir la caja. ¿Cuántos centímetros ha de medir el lado de la base ($x$) para que la superficie de la caja sea mínima? ¿Cuántos centímetros ha de medir la altura ($y$)? ¿Qué cantidad de cartón utilizará para construir la caja? [2 puntos]

$\textbf{a) Exprese la altura de la caja } \boldsymbol{(y)}\textbf{ en función de la longitud del lado de la base } \boldsymbol{(x)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

La caja es un prisma recto de base cuadrada de lado $x$ y altura $y$, de manera que su volumen es el área de la base por la altura. Se trabaja en centímetros, así que se pasan los 4 litros a centímetros cúbicos.

$4\ \text{l} = 4000\ \text{cm}^3$

$V = x^2y = 4000$

Despejamos la altura:

$y = \dfrac{4000}{x^2}$

La altura de la caja en función del lado de la base es $y = \dfrac{4000}{x^2}$ centímetros.

$\textbf{b) Ona quiere utilizar el mínimo de cartón posible para construir la caja. ¿Cuántos centímetros ha de medir el lado de la base } \boldsymbol{(x)}\textbf{ para que la superficie de la caja sea mínima? ¿Cuántos centímetros ha de medir la altura } \boldsymbol{(y)}\textbf{? ¿Qué cantidad de cartón utilizará para construir la caja? (2 puntos)}$

El cartón utilizado es la superficie de la caja. Como no tiene tapa, la forman la base cuadrada y las cuatro caras laterales.

$S = x^2 + 4xy$

Sustituimos la altura obtenida en el apartado anterior para dejar la superficie en función de una sola variable.

$S(x) = x^2 + 4x\cdot \dfrac{4000}{x^2} = x^2 + \dfrac{16000}{x},\qquad x > 0$

Derivamos e igualamos a cero.

$S'(x) = 2x - \dfrac{16000}{x^2}$

$S'(x) = 0 \Rightarrow 2x = \dfrac{16000}{x^2} \Rightarrow 2x^3 = 16000 \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$S''(x) = 2 + \dfrac{32000}{x^3} \Rightarrow S''(20) = 2 + \dfrac{32000}{8000} = 6 > 0$

Como la segunda derivada es positiva en todo el dominio $x > 0$, el mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

$y = \dfrac{4000}{20^2} = \dfrac{4000}{400} = 10$

$S(20) = 20^2 + \dfrac{16000}{20} = 400 + 800 = 1200$

La caja que gasta menos cartón tiene la base cuadrada de $20$ cm de lado y una altura de $10$ cm, y para construirla se necesitan $1200\ \text{cm}^2$ de cartón.