Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una inversora quiere invertir su capital en un banco especializado en criptomonedas que ofrece diferentes depósitos con los intereses siguientes:

— BTC (bitcoin): 15 % anual.
— ETH (ether): 10 % anual.
— LNK (link): 13 % anual.

La inversora quiere invertir la misma cantidad en bitcoins que entre las otras dos criptomonedas juntas y quiere obtener un rendimiento anual global de un 13 %.

a) ¿Cuál ha de ser la relación entre la inversión en ethers y en links? [1,25 puntos]

b) Si sabemos que la inversión total será de 150.000 €, ¿qué cantidad invertirá en cada criptomoneda? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál ha de ser la relación entre la inversión en } \boldsymbol{ethers}\textbf{ y en } \boldsymbol{links}\textbf{? (1,25 puntos)}$

Llamamos $b$ a la cantidad invertida en bitcoins, $e$ a la invertida en ethers y $l$ a la invertida en links, todas en euros. Traducimos a ecuaciones las dos condiciones del enunciado.

La inversión en bitcoins iguala a la de las otras dos juntas:

$b = e + l$

El rendimiento total ha de ser el 13 % del capital invertido:

$0{,}15b + 0{,}10e + 0{,}13l = 0{,}13(b + e + l)$

Sustituimos $b = e + l$ en la segunda ecuación:

$0{,}15(e+l) + 0{,}10e + 0{,}13l = 0{,}13\big((e+l) + e + l\big)$

$0{,}25e + 0{,}28l = 0{,}26e + 0{,}26l$

$0{,}02l = 0{,}01e \Rightarrow e = 2l$

La inversión en ethers ha de ser el doble de la inversión en links.

$\textbf{b) Si sabemos que la inversión total será de } \boldsymbol{150.000}\textbf{ €, ¿qué cantidad invertirá en cada criptomoneda? (1,25 puntos)}$

Se añade la ecuación del capital total al sistema anterior.

$\begin{cases} b + e + l = 150000 \\ b = e + l \\ e = 2l \end{cases}$

De las dos primeras ecuaciones se obtiene la inversión en bitcoins:

$b + b = 150000 \Rightarrow b = 75000$

Como $e + l = 75000$ y $e = 2l$:

$2l + l = 75000 \Rightarrow 3l = 75000 \Rightarrow l = 25000 \Rightarrow e = 50000$

Comprobamos que el rendimiento global es el 13 % pedido:

$0{,}15\cdot 75000 + 0{,}10\cdot 50000 + 0{,}13\cdot 25000 = 11250 + 5000 + 3250 = 19500$

$\dfrac{19500}{150000} = 0{,}13$

La inversora colocará $75.000$ € en bitcoins, $50.000$ € en ethers y $25.000$ € en links.