Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Los beneficios o pérdidas diarios de una nueva empresa durante el primer año de funcionamiento vienen dados por la función $B(x) = -x^2 + 260x - 12.000$, donde $x$ representa el día desde el inicio de la actividad de la empresa.

a) ¿Qué beneficio o pérdida tuvo la empresa el día 45? ¿Qué días obtuvo un beneficio de 4.000 €? [1 punto]

b) Calcule qué día la empresa obtuvo el beneficio máximo y cuál fue este valor. Calcule también entre qué días la empresa no tuvo pérdidas. [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué beneficio o pérdida tuvo la empresa el día } \boldsymbol{45}\textbf{? ¿Qué días obtuvo un beneficio de } \boldsymbol{4.000}\textbf{ €? (1 punto)}$

El beneficio del día 45 es el valor de la función en $x = 45$.

$B(45) = -45^2 + 260\cdot 45 - 12000 = -2025 + 11700 - 12000 = -2325$

Para saber qué días el beneficio fue de 4.000 € se iguala la función a ese valor y se resuelve la ecuación de segundo grado que resulta.

$-x^2 + 260x - 12000 = 4000 \Rightarrow x^2 - 260x + 16000 = 0$

$x = \dfrac{260 \pm \sqrt{260^2 - 4\cdot 16000}}{2} = \dfrac{260 \pm \sqrt{67600 - 64000}}{2} = \dfrac{260 \pm 60}{2}$

$\begin{cases} x = 100 \\ x = 160 \end{cases}$

El día 45 la empresa tuvo una pérdida de $2325$ €, y obtuvo un beneficio de 4.000 € los días $100$ y $160$.

$\textbf{b) Calcule qué día la empresa obtuvo el beneficio máximo y cuál fue este valor. Calcule también entre qué días la empresa no tuvo pérdidas. (1,5 puntos)}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(x) = -2x + 260$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -2x + 260 = 0 \Rightarrow x = 130$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x) = -2 \Rightarrow B''(130) = -2 < 0$

$B(130) = -130^2 + 260\cdot 130 - 12000 = -16900 + 33800 - 12000 = 4900$

La empresa no tiene pérdidas cuando el beneficio no es negativo, de modo que se resuelve la inecuación $B(x) \ge 0$. Se calculan primero los ceros de la función.

$-x^2 + 260x - 12000 = 0 \Rightarrow x^2 - 260x + 12000 = 0$

$x = \dfrac{260 \pm \sqrt{67600 - 48000}}{2} = \dfrac{260 \pm \sqrt{19600}}{2} = \dfrac{260 \pm 140}{2}$

$\begin{cases} x = 60 \\ x = 200 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 10,\quad B(10) = -100 + 2600 - 12000 = -9500 < 0 \\ \text{Si } x = 130,\quad B(130) = 4900 > 0 \\ \text{Si } x = 300,\quad B(300) = -90000 + 78000 - 12000 = -24000 < 0 \end{cases}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.

El beneficio máximo se alcanza el día $130$ y es de $4900$ €. La empresa no tiene pérdidas entre el día $60$ y el día $200$.