Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Queremos saber el porcentaje de personas que estarían a favor de la construcción de un polideportivo municipal en una población determinada. Tomamos una muestra aleatoria de 350 personas, 218 de las cuales se manifiestan a favor de la propuesta y el resto, en contra.

a) Dé la estimación puntual de la proporción y del porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo. [1 punto]

b) Escriba un intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población.

Nota: Recuerde que, si $Z$ sigue una distribución normal $(0,1)$, $P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$. Recuerde también que, para muestras grandes, el intervalo de confianza para una proporción con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$ viene dado por $\left[\hat p - z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Dé la estimación puntual de la proporción y del porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo. (1 punto)}$

La estimación puntual de la proporción poblacional es la proporción muestral, es decir, el cociente entre el número de personas a favor y el tamaño de la muestra.

$\hat p = \dfrac{218}{350} = \dfrac{109}{175} \approx 0{,}6229$

El porcentaje correspondiente se obtiene multiplicando la proporción por cien.

$0{,}6229\cdot 100 = 62{,}29\ \%$

La estimación puntual de la proporción de personas a favor del polideportivo es $0{,}6229$, esto es, un $62{,}29$ % de la población.

$\textbf{b) Escriba un intervalo de confianza del } \boldsymbol{95\,\%}\textbf{ para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población. (1,5 puntos)}$

La muestra es grande, así que se aplica la fórmula del enunciado. Para un nivel de confianza del 95 % el enunciado indica que $z_{\gamma} = 1{,}96$, porque $P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$.

$n = 350,\qquad \hat p = 0{,}6229,\qquad 1 - \hat p = 0{,}3771$

Calculamos primero el error máximo admisible.

$E = z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}6229\cdot 0{,}3771}{350}}$

$E = 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}2349}{350}} = 1{,}96\sqrt{0{,}000671} = 1{,}96\cdot 0{,}0259 = 0{,}0508$

El intervalo de confianza para la proporción es:

$\left[\hat p - E,\ \hat p + E\right] = \left[0{,}6229 - 0{,}0508,\ 0{,}6229 + 0{,}0508\right] = \left[0{,}5721,\ 0{,}6736\right]$

Para expresarlo en porcentaje se multiplican los dos extremos por cien.

$\left[57{,}21\ \%,\ 67{,}36\ \%\right]$

Con una confianza del 95 % se puede afirmar que el porcentaje de personas de esa población que están a favor de la construcción del polideportivo está entre el $57{,}21$ % y el $67{,}36$ %.