Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Guiu y Roc son unos grandes aficionados al cine y ven muchas películas de la plataforma a la que están suscritos. Les gusta tanto que, si tomamos una película de la plataforma al azar, la probabilidad de que Guiu la haya visto es de 0,5, la probabilidad de que Roc la haya visto es de 0,6 y la probabilidad de que la hayan visto los dos es de 0,25.

a) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno de los dos la haya visto. Calcule también la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu. [1,5 puntos]

b) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que Guiu la haya visto si sabemos que al menos uno de los dos la ha visto. [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$G \equiv$ Guiu ha visto la película

$R \equiv$ Roc ha visto la película

Los datos del enunciado son $P(G) = 0{,}5$, $P(R) = 0{,}6$ y $P(G \cap R) = 0{,}25$.

$\textbf{a) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno de los dos la haya visto. Calcule también la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu. (1,5 puntos)}$

Que al menos uno de los dos la haya visto es la unión de los dos sucesos. Como no son incompatibles, aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, que descuenta la intersección para no contarla dos veces.

$P(G \cup R) = P(G) + P(R) - P(G \cap R)$

$P(G \cup R) = 0{,}5 + 0{,}6 - 0{,}25 = 0{,}85$

Que la haya visto Roc pero no Guiu es la parte de $R$ que queda fuera de $G$, es decir, la diferencia de sucesos.

$P(R \cap \overline{G}) = P(R) - P(R \cap G)$

$P(R \cap \overline{G}) = 0{,}6 - 0{,}25 = 0{,}35$

La probabilidad de que al menos uno de los dos haya visto la película es $0{,}85$, y la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu es $0{,}35$.

$\textbf{b) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que Guiu la haya visto si sabemos que al menos uno de los dos la ha visto. (1 punto)}$

Se pide una probabilidad condicionada, en la que el suceso condicionante es la unión calculada en el apartado anterior.

$P(G / G \cup R) = \dfrac{P\big(G \cap (G \cup R)\big)}{P(G \cup R)}$

El suceso $G$ está contenido en $G \cup R$, de manera que su intersección es el propio $G$.

$P\big(G \cap (G \cup R)\big) = P(G) = 0{,}5$

$P(G / G \cup R) = \dfrac{0{,}5}{0{,}85} = \dfrac{10}{17} \approx 0{,}5882$

Sabiendo que al menos uno de los dos ha visto la película, la probabilidad de que la haya visto Guiu es $\frac{10}{17} \approx 0{,}5882$.