Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Decimos que una matriz es mágica si la suma de los elementos de cada fila y de cada columna tiene como resultado en todos los casos el mismo valor, que se denomina constante mágica.

Martín ha encontrado una manera de crear matrices mágicas eligiendo tres números cualesquiera y multiplicándolos por las matrices siguientes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Martín propone a sus amigos que cada uno construya su matriz mágica particular a partir del día de su cumpleaños, del mes de su cumpleaños y de su edad.

a) Sabiendo que Martín nació el 10 de marzo y que tiene 18 años, calcule $10\cdot A + 3\cdot B + 18\cdot C$. Compruebe que la matriz resultante es mágica e indique cuál es su constante mágica (el valor común de la suma de las filas y las columnas). [1,25 puntos]

b) Martín ha calculado la matriz mágica de su padre, que cumple años el 8 de septiembre, y ha obtenido que su constante mágica es 153. ¿Qué edad tiene el padre de Martín? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Sabiendo que Martín nació el } \boldsymbol{10}\textbf{ de marzo y que tiene } \boldsymbol{18}\textbf{ años, calcule } \boldsymbol{10\cdot A + 3\cdot B + 18\cdot C}\textbf{. Compruebe que la matriz resultante es mágica e indique cuál es su constante mágica (el valor común de la suma de las filas y las columnas). (1,25 puntos)}$

El día del cumpleaños es 10, el mes es marzo (el tercero) y la edad es 18. Multiplicamos cada matriz por su número y después sumamos las tres matrices elemento a elemento.

$10A = \begin{pmatrix} 10 & -10 & 0 \\ -10 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & -10 \end{pmatrix},\quad 3B = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & -3 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix},\quad 18C = \begin{pmatrix} 0 & 54 & 0 \\ 18 & 18 & 18 \\ 36 & -18 & 36 \end{pmatrix}$

$M = 10A + 3B + 18C = \begin{pmatrix} 10+0+0 & -10-3+54 & 0+3+0 \\ -10+3+18 & 0+0+18 & 10-3+18 \\ 0-3+36 & 10+3-18 & -10+0+36 \end{pmatrix}$

$M = \begin{pmatrix} 10 & 41 & 3 \\ 11 & 18 & 25 \\ 33 & -5 & 26 \end{pmatrix}$

Comprobamos que las seis sumas coinciden. Por filas:

$10 + 41 + 3 = 54,\qquad 11 + 18 + 25 = 54,\qquad 33 - 5 + 26 = 54$

Por columnas:

$10 + 11 + 33 = 54,\qquad 41 + 18 - 5 = 54,\qquad 3 + 25 + 26 = 54$

Las seis sumas valen lo mismo, de modo que la matriz $M$ es mágica y su constante mágica es $54$.

$\textbf{b) Martín ha calculado la matriz mágica de su padre, que cumple años el } \boldsymbol{8}\textbf{ de septiembre, y ha obtenido que su constante mágica es } \boldsymbol{153}\textbf{. ¿Qué edad tiene el padre de Martín? (1,25 puntos)}$

Conviene averiguar antes de qué depende la constante mágica. Llamamos $d$ al día, $m$ al mes y $e$ a la edad, y estudiamos las sumas de las filas de cada una de las tres matrices por separado.

En la matriz $A$ todas las filas y todas las columnas suman $0$:

$1 - 1 + 0 = 0,\qquad -1 + 0 + 1 = 0,\qquad 0 + 1 - 1 = 0$

En la matriz $B$ ocurre lo mismo:

$0 - 1 + 1 = 0,\qquad 1 + 0 - 1 = 0,\qquad -1 + 1 + 0 = 0$

En la matriz $C$ todas las filas y todas las columnas suman $3$:

$0 + 3 + 0 = 3,\qquad 1 + 1 + 1 = 3,\qquad 2 - 1 + 2 = 3$

Como la suma de una fila de $dA + mB + eC$ es la combinación de las sumas correspondientes, la constante mágica resulta ser:

$d\cdot 0 + m\cdot 0 + e\cdot 3 = 3e$

La constante mágica no depende ni del día ni del mes del cumpleaños: solo depende de la edad. Imponemos que valga 153.

$3e = 153 \Rightarrow e = \dfrac{153}{3} = 51$

El padre de Martín tiene $51$ años. La fecha del 8 de septiembre no interviene en el resultado, porque las matrices $A$ y $B$ tienen todas sus filas y columnas de suma nula.