Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Una agricultora contrata a un conductor para que lleve un tractor hasta un pueblo que se encuentra a 300 km de distancia. Sabemos que el gasoil que utiliza el tractor cuesta 1,96 € por litro y que el conductor cobra 14,70 € la hora. Supongamos que el conductor hará todo el trayecto a una velocidad constante y que el consumo de gasoil (en litros por hora), en función de la velocidad $x$ (en kilómetros por hora), viene dado por la función $G(x) = 5 + \dfrac{x^2}{98}$.

a) Calcule el tiempo que tardará el conductor en hacer el viaje y el coste total del viaje si el tractor hace todo el recorrido a 40 km/h (la velocidad máxima permitida para este tipo de vehículo). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como $C(x) = \dfrac{7.350}{x} + 6x$. [1,25 puntos]

b) Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el tiempo que tardará el conductor en hacer el viaje y el coste total del viaje si el tractor hace todo el recorrido a } \boldsymbol{40}\textbf{ km/h (la velocidad máxima permitida para este tipo de vehículo). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como } \boldsymbol{C(x) = \frac{7.350}{x} + 6x}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Como el trayecto se hace a velocidad constante, el tiempo empleado es el cociente entre la distancia y la velocidad.

$t = \dfrac{300}{x}$

$t(40) = \dfrac{300}{40} = 7{,}5\ \text{h}$

El coste total tiene dos partidas: el gasoil consumido y el sueldo del conductor. Para el gasoil, el consumo por hora a $40$ km/h es:

$G(40) = 5 + \dfrac{40^2}{98} = 5 + \dfrac{1600}{98} = \dfrac{1045}{49} \approx 21{,}33\ \text{l/h}$

$\text{Litros} = G(40)\cdot t(40) = \dfrac{1045}{49}\cdot 7{,}5 = \dfrac{15675}{98} \approx 159{,}95\ \text{l}$

$\text{Coste del gasoil} = 1{,}96\cdot \dfrac{15675}{98} = 313{,}50\ \text{€}$

$\text{Coste del conductor} = 14{,}70\cdot 7{,}5 = 110{,}25\ \text{€}$

$\text{Coste total} = 313{,}50 + 110{,}25 = 423{,}75\ \text{€}$

Se repite el mismo razonamiento dejando la velocidad como variable. El coste del gasoil es el precio del litro por los litros consumidos, y los litros consumidos son el consumo horario por el tiempo de viaje.

$C(x) = 1{,}96\cdot G(x)\cdot t + 14{,}70\cdot t = 1{,}96\left(5 + \dfrac{x^2}{98}\right)\dfrac{300}{x} + 14{,}70\cdot \dfrac{300}{x}$

$C(x) = 1{,}96\cdot \dfrac{1500}{x} + 1{,}96\cdot \dfrac{300x}{98} + \dfrac{4410}{x}$

$C(x) = \dfrac{2940}{x} + 6x + \dfrac{4410}{x} = \dfrac{7350}{x} + 6x$

Se comprueba que la expresión obtenida devuelve el mismo coste calculado antes:

$C(40) = \dfrac{7350}{40} + 6\cdot 40 = 183{,}75 + 240 = 423{,}75\ \text{€}$

A $40$ km/h el viaje dura $7{,}5$ horas y el coste total del viaje es la función $C(x) = \dfrac{7350}{x} + 6x$, que a esa velocidad vale $423{,}75$ €.

$\textbf{b) Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es este coste? (1,25 puntos)}$

Se trata de minimizar la función de coste, definida para $x > 0$. Derivamos e igualamos a cero.

$C(x) = 7350x^{-1} + 6x$

$C'(x) = -\dfrac{7350}{x^2} + 6$

$C'(x) = 0 \Rightarrow \dfrac{7350}{x^2} = 6 \Rightarrow x^2 = \dfrac{7350}{6} = 1225 \Rightarrow x = \pm 35$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función.

Comprobamos con la segunda derivada que en $x = 35$ hay un mínimo.

$C''(x) = \dfrac{14700}{x^3} \Rightarrow C''(35) = \dfrac{14700}{35^3} = \dfrac{12}{35} > 0$

Como es el único extremo y la segunda derivada es positiva en todo el dominio, el mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

$C(35) = \dfrac{7350}{35} + 6\cdot 35 = 210 + 210 = 420$

El coste del viaje es mínimo si el tractor circula a $35$ km/h, y ese coste mínimo es de $420$ €.