Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa de muebles dispone de tres fábricas que producen un modelo de sofá determinado. El mes pasado se fabricaron un total de 1.260 unidades de este modelo y sabemos que la segunda fábrica produjo tantos sofás como las otras dos juntas.

a) Con esta información, ¿podemos determinar cuántos sofás produjo cada una de las fábricas? Justifique la respuesta. A continuación, calcule, solo con esta información, cuántos sofás produjo la segunda fábrica. [1,25 puntos]

b) También sabemos que un 10 % de los sofás producidos por la primera fábrica, un 30 % de los producidos por la segunda y un 20 % de los producidos por la tercera eran de color gris, y que en total se fabricaron 284 sofás de este color. Encuentre cuántos sofás produjo cada fábrica el mes pasado. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Con esta información, ¿podemos determinar cuántos sofás produjo cada una de las fábricas? Justifique la respuesta. A continuación, calcule, solo con esta información, cuántos sofás produjo la segunda fábrica. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de sofás producidos por la primera fábrica, $y$ a los de la segunda y $z$ a los de la tercera. Traducimos a ecuaciones los dos datos del enunciado.

El total fabricado es de 1.260 unidades:

$x + y + z = 1260$

La segunda fábrica produjo tantos sofás como las otras dos juntas:

$y = x + z$

$\begin{cases} x + y + z = 1260 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$

Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, de modo que su matriz de coeficientes tiene rango 2 como mucho y el número de incógnitas es 3. El sistema es compatible indeterminado y no permite determinar la producción de cada fábrica por separado.

En cambio, la producción de la segunda fábrica sí queda fijada. Sustituimos $x + z = y$ en la primera ecuación:

$y + y = 1260 \Rightarrow 2y = 1260 \Rightarrow y = 630$

Con estos dos datos no se puede saber cuántos sofás produjo cada fábrica, porque el sistema es compatible indeterminado, pero sí se sabe que la segunda fábrica produjo $630$ sofás.

$\textbf{b) También sabemos que un } \boldsymbol{10\,\%}\textbf{ de los sofás producidos por la primera fábrica, un } \boldsymbol{30\,\%}\textbf{ de los producidos por la segunda y un } \boldsymbol{20\,\%}\textbf{ de los producidos por la tercera eran de color gris, y que en total se fabricaron } \boldsymbol{284}\textbf{ sofás de este color. Encuentre cuántos sofás produjo cada fábrica el mes pasado. (1,25 puntos)}$

La nueva condición aporta la tercera ecuación que le faltaba al sistema: la suma de los sofás grises de las tres fábricas es 284.

$0{,}1x + 0{,}3y + 0{,}2z = 284$

$\begin{cases} x + y + z = 1260 \\ x - y + z = 0 \\ 0{,}1x + 0{,}3y + 0{,}2z = 284 \end{cases}$

Del apartado anterior ya sabemos que $y = 630$. Sustituyendo en la primera y en la tercera ecuación:

$x + z = 1260 - 630 = 630$

$0{,}1x + 0{,}3\cdot 630 + 0{,}2z = 284 \Rightarrow 0{,}1x + 0{,}2z = 284 - 189 = 95$

Multiplicamos la última ecuación por 10 para trabajar con números enteros:

$\begin{cases} x + z = 630 \\ x + 2z = 950 \end{cases}$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$z = 950 - 630 = 320 \Rightarrow x = 630 - 320 = 310$

Comprobamos el resultado en la ecuación de los sofás grises:

$0{,}1\cdot 310 + 0{,}3\cdot 630 + 0{,}2\cdot 320 = 31 + 189 + 64 = 284$

La primera fábrica produjo $310$ sofás, la segunda $630$ y la tercera $320$.