Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Dos compañías de taxi, A y B, ofrecen tarifas diferentes. La compañía A ofrece un coste fijo de 20 € más 0,4 € por kilómetro recorrido, mientras que el precio de la compañía B sigue la función $g(x) = 0{,}01x^2 + 0{,}1x + 10$, donde $x$ representa el número de kilómetros recorridos.

a) ¿Cuál de las dos compañías ofrece la tarifa más económica si hacemos un recorrido de 10 km? ¿Y si hacemos uno de 80 km? Calcule la diferencia de precio en cada caso. ¿Hay algún coste fijo en la tarifa de la compañía B solo por el hecho de subir al taxi? [1 punto]

b) Determine para qué número de kilómetros recorridos las dos tarifas coinciden. Si consideramos solo los trayectos inferiores a esta cantidad, ¿para qué número de kilómetros la diferencia de precio entre una tarifa y la otra es máxima? ¿Cuál es esta diferencia máxima de precio? [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál de las dos compañías ofrece la tarifa más económica si hacemos un recorrido de } \boldsymbol{10}\textbf{ km? ¿Y si hacemos uno de } \boldsymbol{80}\textbf{ km? Calcule la diferencia de precio en cada caso. ¿Hay algún coste fijo en la tarifa de la compañía B solo por el hecho de subir al taxi? (1 punto)}$

La tarifa de la compañía A es una función afín formada por el coste fijo más el precio por kilómetro, mientras que la de la compañía B ya viene dada. Basta evaluar las dos funciones en cada recorrido y comparar los importes.

$f(x) = 20 + 0{,}4x$

$g(x) = 0{,}01x^2 + 0{,}1x + 10$

Para un recorrido de $10$ km:

$f(10) = 20 + 0{,}4\cdot 10 = 24\ \text{€}$

$g(10) = 0{,}01\cdot 10^2 + 0{,}1\cdot 10 + 10 = 1 + 1 + 10 = 12\ \text{€}$

$f(10) - g(10) = 24 - 12 = 12\ \text{€}$

Para un recorrido de $80$ km:

$f(80) = 20 + 0{,}4\cdot 80 = 52\ \text{€}$

$g(80) = 0{,}01\cdot 80^2 + 0{,}1\cdot 80 + 10 = 64 + 8 + 10 = 82\ \text{€}$

$g(80) - f(80) = 82 - 52 = 30\ \text{€}$

El coste fijo de la compañía B es el importe que se paga sin recorrer ningún kilómetro, es decir, el valor de la función en $x = 0$.

$g(0) = 0{,}01\cdot 0^2 + 0{,}1\cdot 0 + 10 = 10\ \text{€}$

En un recorrido de $10$ km resulta más económica la compañía B, con una diferencia de $12$ €, y en uno de $80$ km resulta más económica la compañía A, con una diferencia de $30$ €. La compañía B sí tiene coste fijo: son $10$ € por subir al taxi.

$\textbf{b) Determine para qué número de kilómetros recorridos las dos tarifas coinciden. Si consideramos solo los trayectos inferiores a esta cantidad, ¿para qué número de kilómetros la diferencia de precio entre una tarifa y la otra es máxima? ¿Cuál es esta diferencia máxima de precio? (1,5 puntos)}$

Las dos tarifas coinciden en los recorridos que igualan las dos funciones, de manera que se resuelve la ecuación $f(x) = g(x)$.

$20 + 0{,}4x = 0{,}01x^2 + 0{,}1x + 10$

$0{,}01x^2 - 0{,}3x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 30x - 1000 = 0$

$x = \dfrac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 + 4\cdot 1000}}{2} = \dfrac{30 \pm \sqrt{4900}}{2} = \dfrac{30 \pm 70}{2}$

$\begin{cases} x = -20 \\ x = 50 \end{cases}$

Se descarta la solución negativa porque un recorrido no puede medir un número negativo de kilómetros.

Para estudiar la diferencia de precio en los trayectos inferiores a $50$ km se define la función diferencia. En ese intervalo la compañía B es la más barata, tal como se ha visto en el apartado anterior, así que se resta en el orden que da un valor positivo.

$d(x) = f(x) - g(x) = 20 + 0{,}4x - (0{,}01x^2 + 0{,}1x + 10)$

$d(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}3x + 10,\qquad 0 \le x \le 50$

Derivamos la función diferencia y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$d'(x) = -0{,}02x + 0{,}3$

$d'(x) = 0 \Rightarrow -0{,}02x + 0{,}3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{0{,}3}{0{,}02} = 15$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$d''(x) = -0{,}02 \Rightarrow d''(15) = -0{,}02 < 0$

$d(15) = -0{,}01\cdot 15^2 + 0{,}3\cdot 15 + 10 = -2{,}25 + 4{,}5 + 10 = 12{,}25$

Las dos tarifas coinciden en un recorrido de $50$ km, y en los trayectos más cortos la diferencia de precio es máxima a los $15$ km, con un ahorro de $12{,}25$ € a favor de la compañía B.