Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2020

Tenemos una fotocélula en la cual el cátodo está hecho de un material alcalino que solo puede emitir electrones por efecto fotoeléctrico si los fotones tienen una energía superior a $1{,}20\ \text{eV}$. Enviamos sobre el cátodo un haz de fotones formado por $10^{7}$ fotones/s de una longitud de onda de luz verde de $500\ \text{nm}$.

a) ¿Qué energía cinética tendrán los electrones arrancados del cátodo por esta luz verde? [1,25 puntos]

b) Si en lugar de $10^{7}$ fotones/s sobre el cátodo enviamos un haz 10 veces más intenso $(10^{8}$ fotones/s), ¿qué cambios se producirán en la emisión de los electrones? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.

$\textbf{a) ¿Qué energía cinética tendrán los electrones arrancados del cátodo por esta luz verde? (1,25 puntos)}$

La energía de cada fotón de la luz verde es:

$E_f=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{500\cdot10^{-9}}$

$E_f=3{,}98\cdot10^{-19}\,\text{J}$

Expresada en electronvoltios:

$E_f=\frac{3{,}98\cdot10^{-19}}{1{,}602\cdot10^{-19}}=2{,}48\,\text{eV}$

Como supera el trabajo de extracción del material, $1{,}20\,\text{eV}$, sí se produce el efecto fotoeléctrico. Aplicando la ecuación de Einstein:

$E_{c,\text{máx}}=E_f-W_0=2{,}48-1{,}20$

$E_{c,\text{máx}}=1{,}28\,\text{eV}$

En unidades del Sistema Internacional:

$E_{c,\text{máx}}=1{,}28\cdot1{,}602\cdot10^{-19}=2{,}06\cdot10^{-19}\,\text{J}$

$\textbf{b) Si enviamos un haz 10 veces más intenso, ¿qué cambios se producirán en la emisión de los electrones? Justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

Hay que distinguir lo que depende de la frecuencia de lo que depende de la intensidad.

i) La energía cinética máxima de los electrones no cambia. Según la ecuación de Einstein:

$E_{c,\text{máx}}=h\,f-W_0$

solo depende de la frecuencia de la luz y del material del cátodo, y ninguna de las dos cosas se ha modificado: los fotones siguen siendo de $500\,\text{nm}$ y siguen entregando $2{,}48\,\text{eV}$ cada uno. Los electrones siguen saliendo con $1{,}28\,\text{eV}$ como máximo, y el potencial de frenado necesario para detenerlos es el mismo.

ii) El número de electrones emitidos por unidad de tiempo se multiplica por diez. En el efecto fotoeléctrico cada fotón absorbido arranca como mucho un electrón, así que si llegan diez veces más fotones por segundo se arrancan diez veces más electrones por segundo:

$n'=10\,n=10^{8}\ \text{electrones/s}$

y, en consecuencia, la intensidad de la corriente fotoeléctrica también se multiplica por diez:

$I'=10\,I$

Este comportamiento es precisamente lo que la física clásica no podía explicar y lo que confirma la naturaleza corpuscular de la luz: aumentar la intensidad da más electrones, pero no electrones más rápidos.