Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2020

La datación por carbono 14 es una herramienta muy útil para estimar la edad de restos óseos o fósiles. Esta técnica se basa en el ciclo siguiente:

— Un núcleo de nitrógeno 14, ${}^{14}_{\ 7}\text{N}$, captura un neutrón proveniente de rayos cósmicos del espacio, libera un protón y se convierte en carbono 14.

— El carbono 14 forma moléculas de $\text{CO}_2$ que son absorbidas por las plantas.

— Cuando los animales comen, las plantas incorporan el carbono 14.

— Cuando un animal muere, ya no incorpora más carbono 14. A partir de este punto el contenido de carbono 14 disminuye progresivamente y se convierte en nitrógeno 14.

a) Escriba la reacción nuclear mediante la cual el nitrógeno 14 se transforma en carbono 14 por el efecto de los rayos cósmicos. Justifique si la reacción absorbe o libera energía. [1,25 puntos]

b) En el laboratorio se comparan dos muestras óseas de elefante. La muestra A es de un individuo muerto recientemente y la muestra B tiene datación desconocida. Sabiendo que la muestra B contiene un $23\ \%$ menos de carbono 14 que la muestra A, ¿qué edad tiene esta muestra? [1,25 puntos]

Datos: período de semidesintegración del carbono 14: $5\,730$ años.

$\text{Partícula o núcleo}$	Neutrón	Protón	Nitrógeno 14	Carbono 14 $\text{Masa (u)}$	1,008 664 9	1,007 276 47	14,003 074	14,003 241

$\textbf{a) Escriba la reacción nuclear mediante la cual el nitrógeno 14 se transforma en carbono 14. Justifique si la reacción absorbe o libera energía. (1,25 puntos)}$

Un núcleo de nitrógeno 14 captura un neutrón y emite un protón. Conservando el número másico y el número atómico:

${}^{14}_{\ 7}\text{N}+{}^{1}_{0}n\rightarrow{}^{14}_{\ 6}\text{C}+{}^{1}_{1}p$

Se comprueba el balance: en números másicos, $14+1=14+1$; en números atómicos, $7+0=6+1$.

Para saber si la reacción absorbe o libera energía se compara la masa de los reactivos con la de los productos:

$m_{\text{reactivos}}=14{,}003\,074+1{,}008\,664\,9=15{,}011\,738\,9\ \text{u}$

$m_{\text{productos}}=14{,}003\,241+1{,}007\,276\,47=15{,}010\,517\,5\ \text{u}$

$\Delta m=m_{\text{reactivos}}-m_{\text{productos}}=1{,}22\cdot10^{-3}\,\text{u}$

El defecto de masa es positivo: los productos son más ligeros que los reactivos. Esa masa que desaparece se convierte en energía según la equivalencia de Einstein, $E=\Delta m\,c^2$, de modo que la reacción libera energía. Es, por tanto, una reacción exoenergética, y esa energía se reparte entre la energía cinética del carbono 14 y la del protón emitido.

$\textbf{b) Sabiendo que la muestra B contiene un } \boldsymbol{23\ \%}\textbf{ menos de carbono 14 que la muestra A, ¿qué edad tiene esta muestra? (1,25 puntos)}$

La muestra A es de un individuo muerto recientemente, de modo que su contenido de carbono 14 es el que había en el momento de la muerte, $N_0$. La muestra B tiene un $23\ \%$ menos:

$\frac{N}{N_0}=1-0{,}23=0{,}77$

La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{5\,730}=1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

Aplicando la ley de desintegración radiactiva y despejando el tiempo:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N}$

$t=\frac{1}{1{,}21\cdot10^{-4}}\ln\frac{1}{0{,}77}=\frac{0{,}261}{1{,}21\cdot10^{-4}}$

$t=2{,}16\cdot10^{3}\,\text{años}$

La muestra B tiene unos $2\,160$ años, algo más de la tercera parte de un período de semidesintegración.