Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2020

El movimiento de los insectos en la telaraña hecha por las arañas es un movimiento armónico simple (MAS), es decir, se puede modelizar como una masa en el extremo de un muelle. Se ha observado que cuando la araña está sola en la telaraña produce una vibración de frecuencia $12\ \text{Hz}$. Si un insecto de $1{,}00\ \text{g}$ de masa queda atrapado en la telaraña, el conjunto araña e insecto produce una vibración de $10\ \text{Hz}$.

a) Calcule la masa de la araña. [1,25 puntos]

b) Calcule la constante elástica de esta telaraña. ¿En qué posiciones este MAS alcanza la máxima velocidad? ¿Y la máxima aceleración? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la masa de la araña. (1,25 puntos)}$

La telaraña se comporta como un muelle de constante elástica $k$, de modo que la frecuencia de vibración de una masa sujeta a ella es:

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Con la araña sola vibra a $12\ \text{Hz}$ y con la araña más el insecto, a $10\ \text{Hz}$. Como la constante elástica es la misma en ambos casos, se puede dividir una expresión entre la otra:

$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{m_1+m_i}{m_1}}$

Elevando al cuadrado y despejando la masa de la araña:

$\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2=\frac{m_1+m_i}{m_1}\Rightarrow m_1\left[\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2-1\right]=m_i$

$m_1=\frac{m_i}{\left(\dfrac{12}{10}\right)^{2}-1}=\frac{1{,}00\cdot10^{-3}}{1{,}44-1}$

$m_1=2{,}27\cdot10^{-3}\,\text{kg}=2{,}27\,\text{g}$

$\textbf{b) Calcule la constante elástica de esta telaraña. ¿En qué posiciones alcanza el MAS la máxima velocidad? ¿Y la máxima aceleración? (1,25 puntos)}$

De la expresión de la frecuencia se despeja la constante elástica, usando el caso de la araña sola:

$k=m_1\left(2\pi f_1\right)^2=2{,}27\cdot10^{-3}\cdot\left(2\pi\cdot12\right)^{2}$

$k=12{,}9\,\text{N/m}$

En un movimiento armónico simple la elongación, la velocidad y la aceleración son:

$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)$

$v(t)=A\,\omega\cos(\omega t+\varphi_0)$

$a(t)=-A\,\omega^2\sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2 x$

La velocidad es máxima cuando el coseno vale la unidad, y en ese mismo instante el seno es nulo, es decir, cuando la elongación es cero. La velocidad máxima se alcanza, por tanto, al pasar por la posición de equilibrio, y vale $A\omega$.

La aceleración, en cambio, es proporcional a la elongación y de sentido contrario, así que es máxima en los puntos de máxima elongación, es decir, en los extremos $x=\pm A$, donde vale $A\omega^2$. Precisamente en esos puntos la velocidad es nula.

Esto es coherente con la conservación de la energía: en el equilibrio toda la energía es cinética y en los extremos toda es potencial elástica.