Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2020

Dos esferas conductoras idénticas y suficientemente pequeñas para ser consideradas puntuales están unidas por un muelle. La constante elástica del muelle es $10\ \text{N/m}$. El conjunto se coloca sobre una mesa que es eléctricamente aislante. Además, no hay fricción entre la mesa y el conjunto de las dos esferas y el muelle. Las esferas están separadas por una distancia de $0{,}40\ \text{m}$ cuando no están cargadas (el muelle no hace ninguna fuerza). Cargamos con la misma carga positiva las dos esferas con un generador hasta que la distancia entre ellas sea de $1{,}00\ \text{m}$.



a) Cuando las esferas están cargadas, ¿cuál es la fuerza aplicada por el muelle sobre cada una de las esferas? ¿Cuál es la carga de cada una de las esferas? [1,25 puntos]

b) Colocamos un electrón a $1\ \text{m}$ de cada una de las dos esferas (equidistante de las dos esferas, tal como indica la figura). Calcule el módulo del campo eléctrico que actúa sobre el electrón y el módulo de la aceleración en este instante. Sobre la figura, represente la dirección y el sentido del campo eléctrico y de la aceleración en el punto donde se encuentra el electrón. [1,25 puntos]

Datos: $k_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la fuerza aplicada por el muelle sobre cada una de las esferas? ¿Cuál es la carga de cada una de las esferas? (1,25 puntos)}$

El muelle tiene una longitud natural de $0{,}40\,\text{m}$ y, con las esferas cargadas, queda estirado hasta $1{,}00\,\text{m}$. Su alargamiento es:

$x=1{,}00-0{,}40=0{,}60\,\text{m}$

Por la ley de Hooke, el módulo de la fuerza que ejerce sobre cada esfera es:

$F=k\,x=10\cdot0{,}60$

$F=6{,}0\,\text{N}$

y está dirigida hacia el interior, porque el muelle estirado tiende a recuperar su longitud natural.

Las dos esferas están en equilibrio, y sobre cada una actúan solo la fuerza del muelle y la repulsión eléctrica de la otra esfera, que es de igual módulo y sentido contrario:

$F_e=F=6{,}0\,\text{N}$

Aplicando la ley de Coulomb con las dos cargas iguales separadas $1{,}00\,\text{m}$:

$F_e=k_e\frac{Q^2}{d^2}\Rightarrow Q=d\sqrt{\frac{F_e}{k_e}}$

$Q=1{,}00\sqrt{\frac{6{,}0}{8{,}99\cdot10^{9}}}$

$Q=2{,}58\cdot10^{-5}\,\text{C}=25{,}8\,\mu\text{C}$

$\textbf{b) Calcule el módulo del campo eléctrico que actúa sobre el electrón y el módulo de su aceleración. Represente la dirección y el sentido del campo y de la aceleración. (1,25 puntos)}$










Las tres posiciones forman un triángulo equilátero de lado $1\,\text{m}$, de modo que cada esfera crea en el electrón un campo del mismo módulo:

$E_1=E_2=k_e\frac{Q}{r^2}=\frac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot2{,}58\cdot10^{-5}}{1{,}00^{2}}$

$E_1=E_2=2{,}32\cdot10^{5}\,\text{N/C}$





Los dos campos salen de sus respectivas cargas positivas y forman entre sí un ángulo de $60^\circ$. Al sumarlos, las componentes horizontales se cancelan por simetría y quedan solo las verticales:

$E=2\,E_1\cos 30^\circ=\sqrt3\,E_1=\sqrt3\cdot2{,}32\cdot10^{5}$

$E=4{,}02\cdot10^{5}\,\text{N/C}$

El campo resultante es vertical y está dirigido hacia arriba, alejándose del segmento que une las dos esferas.

Sobre el electrón, la fuerza y el campo son antiparalelos por ser la carga negativa, así que la aceleración apunta hacia abajo, hacia el punto medio del muelle. Su módulo es:

$a=\frac{F}{m_e}=\frac{|e|\,E}{m_e}=\frac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot4{,}02\cdot10^{5}}{9{,}11\cdot10^{-31}}$

$a=7{,}07\cdot10^{16}\,\text{m/s}^2$

La aceleración es enorme, como corresponde a una partícula de masa tan pequeña sometida a un campo intenso.