Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse; este hecho hace que la distancia desde la Tierra al Sol no sea la misma en todas las épocas del año. El perihelio, la distancia más corta entre la Tierra y el Sol, es de $1{,}471\cdot10^{8}\ \text{km}$. La Tierra pasa por el perihelio durante los primeros días del mes de enero de cada año. La velocidad de la Tierra en el perihelio es de $30{,}75\ \text{km/s}$. El afelio es la posición más alejada del Sol. Cuando la Tierra se encuentra en el afelio, su velocidad orbital es de $28{,}76\ \text{km/s}$.

a) Dibuje una órbita claramente elíptica (no hace falta que sea la órbita real) en la que se indique la posición del Sol y la de la Tierra un día de invierno del hemisferio norte. Utilizando argumentos basados en la energía, justifique por qué la velocidad de la Tierra es mínima en el afelio. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol en el afelio? [1,25 puntos]

b) ¿Qué intensidad de campo gravitatorio genera el Sol en su superficie? ¿Cuál es el peso de una masa de $10{,}0\ \text{kg}$ en la superficie del Sol? [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_{\text{Sol}} = 1{,}99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $R_{\text{Sol}} = 6{,}96\cdot10^{5}\ \text{km}$.

$\textbf{a) Dibuje una órbita elíptica con la posición del Sol y la de la Tierra un día de invierno del hemisferio norte. Justifique con argumentos de energía por qué la velocidad es mínima en el afelio. ¿Cuál es la distancia Tierra-Sol en el afelio? (1,25 puntos)}$










El Sol ocupa uno de los focos de la elipse, de acuerdo con la primera ley de Kepler. Como la Tierra pasa por el perihelio en los primeros días de enero, en invierno del hemisferio norte está precisamente en la zona más próxima al Sol.





La justificación energética es la siguiente. El campo gravitatorio es conservativo y sobre la Tierra no actúa ninguna otra fuerza, de modo que su energía mecánica se conserva:

$E_M=\frac12\,m\,v^2-G\frac{M_S\,m}{r}=\text{constante}$

La energía potencial gravitatoria es negativa y aumenta (se hace menos negativa) al aumentar la distancia. En el afelio $r$ es máxima, así que la energía potencial es máxima y, para que la suma se mantenga constante, la energía cinética ha de ser mínima. Por tanto, la velocidad es mínima en el afelio.

Para calcular la distancia en el afelio se usa la conservación del momento angular, que también se cumple por ser central la fuerza gravitatoria. En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al radio vector, de modo que:

$L=m\,r_p\,v_p=m\,r_a\,v_a$

$r_a=\frac{r_p\,v_p}{v_a}=\frac{1{,}471\cdot10^{11}\cdot30{,}75}{28{,}76}$

$r_a=1{,}573\cdot10^{11}\,\text{m}$

La Tierra está en el afelio unos $10$ millones de kilómetros más lejos del Sol que en el perihelio, apenas un $3\ \%$ de diferencia: la órbita terrestre es casi circular.

$\textbf{b) ¿Qué intensidad de campo gravitatorio genera el Sol en su superficie? ¿Cuál es el peso de una masa de } \boldsymbol{10{,}0\ \text{kg}}\textbf{ en la superficie del Sol? (1,25 puntos)}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un astro esférico es:

$g=\frac{G\,M_S}{R_S^2}$

Se pasa el radio solar a unidades del Sistema Internacional:

$R_S=6{,}96\cdot10^{5}\ \text{km}=6{,}96\cdot10^{8}\ \text{m}$

$g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}}{\left(6{,}96\cdot10^{8}\right)^{2}}$

$g=274\,\text{m/s}^2$

El peso de un cuerpo es la fuerza con la que el campo gravitatorio lo atrae:

$P=m\,g=10{,}0\cdot274$

$P=2{,}74\cdot10^{3}\,\text{N}$

En la superficie del Sol la gravedad es casi 28 veces la terrestre, y esos $10{,}0\,\text{kg}$ pesarían lo que en la Tierra pesarían unos $280\,\text{kg}$.