Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2020

Para abrir y cerrar la puerta del garaje, disponemos de una célula fotoeléctrica de un material alcalino que presenta una función de trabajo de $1{,}20\ \text{eV}$. Sobre la superficie de este material hacemos incidir luz de diversas longitudes de onda: $\lambda_1 = 1{,}04\ \mu\text{m}$; $\lambda_2 = 0{,}6\ \mu\text{m}$; $\lambda_3 = 0{,}5\ \mu\text{m}$.

a) ¿Qué frecuencia y qué energía (en eV) tienen los fotones incidentes en cada caso? [1,25 puntos]

b) Represente en una gráfica la energía cinética máxima de los electrones arrancados del fotocátodo en función de la energía de los fotones incidentes (en eV). ¿Hay electrones arrancados en todos los casos? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.

$\textbf{a) ¿Qué frecuencia y qué energía (en eV) tienen los fotones incidentes en cada caso? (1,25 puntos)}$

La frecuencia y la energía de cada fotón se obtienen de:

$f=\frac{c}{\lambda}\qquad E=h\,f$

Para $\lambda_1=1{,}04\ \mu\text{m}=1{,}04\cdot10^{-6}\ \text{m}$:

$f_1=\frac{3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}04\cdot10^{-6}}=2{,}88\cdot10^{14}\,\text{Hz}$

$E_1=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot2{,}88\cdot10^{14}=1{,}91\cdot10^{-19}\ \text{J}=1{,}19\,\text{eV}$

Para $\lambda_2=0{,}6\ \mu\text{m}$:

$f_2=\frac{3{,}00\cdot10^{8}}{0{,}6\cdot10^{-6}}=5{,}00\cdot10^{14}\,\text{Hz}$

$E_2=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot5{,}00\cdot10^{14}=3{,}32\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}07\,\text{eV}$

Para $\lambda_3=0{,}5\ \mu\text{m}$:

$f_3=\frac{3{,}00\cdot10^{8}}{0{,}5\cdot10^{-6}}=6{,}00\cdot10^{14}\,\text{Hz}$

$E_3=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot6{,}00\cdot10^{14}=3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}48\,\text{eV}$

$\textbf{b) Represente la energía cinética máxima de los electrones arrancados en función de la energía de los fotones incidentes. ¿Hay electrones arrancados en todos los casos? (1,25 puntos)}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es lo que sobra de la energía del fotón después de vencer el trabajo de extracción:

$E_{c,\text{máx}}=E_{\text{fotón}}-W_0$

y solo hay emisión si la energía del fotón supera $W_0=1{,}20\,\text{eV}$.



La gráfica es, por tanto, nula hasta $1{,}20\,\text{eV}$ y a partir de ahí una recta de pendiente unidad.

Se comprueba cada caso:

i) $\lambda_1$: $E_1=1{,}19\ \text{eV}<1{,}20\ \text{eV}$. El fotón no llega al trabajo de extracción y no arranca ningún electrón, por intensa que sea la luz.

ii) $\lambda_2$: $E_{c,\text{máx}}=2{,}07-1{,}20=0{,}87\,\text{eV}$. Sí hay emisión.

iii) $\lambda_3$: $E_{c,\text{máx}}=2{,}48-1{,}20=1{,}28\,\text{eV}$. Sí hay emisión.

No hay electrones arrancados en todos los casos: la luz de $1{,}04\ \mu\text{m}$, que es infrarroja, queda justo por debajo del umbral y no abriría la puerta del garaje.