Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2020

Dos cargas eléctricas puntuales de $-5{,}0\ \mu\text{C}$ y $7{,}0\ \mu\text{C}$ están separadas $10\ \text{cm}$ una de la otra.

a) Calcule el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en un punto a $3{,}0\ \text{cm}$ de la carga negativa y a $7{,}0\ \text{cm}$ de la carga positiva. Este punto pertenece a la línea que une las dos cargas. [1,25 puntos]

b) Calcule en qué punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es nulo. [1,25 puntos]

Dato: $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el campo eléctrico en un punto a } \boldsymbol{3{,}0\ \text{cm}}\textbf{ de la carga negativa y a } \boldsymbol{7{,}0\ \text{cm}}\textbf{ de la positiva. (1,25 puntos)}$

Como las dos distancias suman los $10\,\text{cm}$ que separan las cargas, el punto $P$ está entre ellas, sobre el segmento que las une.










El campo creado por una carga puntual tiene módulo:

$E=k\frac{|Q|}{r^2}$

y está dirigido alejándose de la carga si es positiva y acercándose a ella si es negativa.

Aquí las dos contribuciones apuntan en el mismo sentido, de la carga positiva hacia la negativa, así que se suman.





Para la carga negativa, a $3{,}0\,\text{cm}$:

$E_1=\frac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot5{,}0\cdot10^{-6}}{\left(3{,}0\cdot10^{-2}\right)^{2}}=4{,}99\cdot10^{7}\,\text{N/C}$

Para la carga positiva, a $7{,}0\,\text{cm}$:

$E_2=\frac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot7{,}0\cdot10^{-6}}{\left(7{,}0\cdot10^{-2}\right)^{2}}=1{,}28\cdot10^{7}\,\text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$E_P=E_1+E_2=4{,}99\cdot10^{7}+1{,}28\cdot10^{7}$

$E_P=6{,}28\cdot10^{7}\,\text{N/C}$

El campo tiene la dirección de la recta que une las dos cargas y el sentido que va de la carga positiva hacia la negativa.

$\textbf{b) Calcule en qué punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es nulo. (1,25 puntos)}$

El potencial es una magnitud escalar, de modo que se suman directamente las contribuciones de las dos cargas con su signo:

$V=k\frac{q_1}{r_1}+k\frac{q_2}{r_2}=0$

$\frac{-5{,}0}{r_1}+\frac{7{,}0}{r_2}=0\Rightarrow 7{,}0\,r_1=5{,}0\,r_2$

Hay que estudiar las dos regiones en las que esto puede cumplirse.

i) Entre las dos cargas. Si $x$ es la distancia a la carga negativa, la distancia a la positiva es $10-x$:

$7{,}0\,x=5{,}0\,(10-x)\Rightarrow 12\,x=50$

$x=4{,}17\,\text{cm}$

ii) Fuera del segmento, al otro lado de la carga negativa, que es la de menor valor absoluto:

$7{,}0\,x=5{,}0\,(x+10)\Rightarrow 2\,x=50$

$x=25{,}0\,\text{cm}$

Se descarta la región situada más allá de la carga positiva, porque allí siempre está más cerca la carga mayor y el potencial no puede anularse.

El potencial es nulo, por tanto, en dos puntos de la recta: a $4{,}17\,\text{cm}$ de la carga negativa entre ambas, y a $25{,}0\,\text{cm}$ de la carga negativa por el lado opuesto a la positiva.