Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

En 1971 el astronauta David Scott, de la misión Apollo 15, hizo el experimento siguiente en la superficie de la Luna: en una mano tenía una pluma de halcón de $30\ \text{g}$ de masa y en la otra mano tenía un martillo de aluminio de $1{,}32\ \text{kg}$. Los soltó a la vez desde la misma altura y comprobó la predicción de Galileo según la cual en caída libre los dos objetos habían de llegar simultáneamente al suelo. Concretamente, ambos objetos tardaron $1{,}1\ \text{s}$ en recorrer los $100\ \text{cm}$ que los separaban del suelo.

a) A partir del experimento de David Scott, calcule la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna y la masa de la Luna. [1,25 puntos]

b) Calcule el período orbital de la Luna alrededor de la Tierra. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; distancia Tierra-Luna $= 3{,}84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $R_{\text{Luna}} = 1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

$\textbf{a) A partir del experimento de David Scott, calcule la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna y la masa de la Luna. (1,25 puntos)}$

En caída libre desde el reposo, y con la intensidad del campo gravitatorio constante cerca de la superficie, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado:

$h=\frac12\,g_L\,t^2\Rightarrow g_L=\frac{2h}{t^2}$

Obsérvese que la masa no aparece: por eso la pluma y el martillo llegan a la vez, que es precisamente lo que Scott quiso demostrar.

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$h=100\ \text{cm}=1{,}00\ \text{m}\qquad t=1{,}1\ \text{s}$

$g_L=\frac{2\cdot1{,}00}{1{,}1^{2}}=1{,}65\,\text{m/s}^2$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un astro esférico es:

$g_L=\frac{G\,M_L}{R_L^2}\Rightarrow M_L=\frac{g_L\,R_L^2}{G}$

$M_L=\frac{1{,}65\cdot\left(1{,}74\cdot10^{6}\right)^{2}}{6{,}67\cdot10^{-11}}$

$M_L=7{,}50\cdot10^{22}\,\text{kg}$

Los dos valores son los conocidos: la gravedad lunar es la sexta parte de la terrestre y la masa de la Luna, unas ochenta veces menor que la de la Tierra.

$\textbf{b) Calcule el período orbital de la Luna alrededor de la Tierra. (1,25 puntos)}$

La Luna describe una órbita alrededor de la Tierra en la que la atracción gravitatoria terrestre hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M_T\,M_L}{d^2}=M_L\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,d$

Simplificando la masa de la Luna y despejando el período se obtiene la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G\,M_T}}$

$T=2\pi\sqrt{\frac{\left(3{,}84\cdot10^{8}\right)^{3}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}}$

$T=2{,}37\cdot10^{6}\,\text{s}$

Expresado en días:

$T=\frac{2{,}37\cdot10^{6}}{86\,400}=27{,}4\,\text{días}$

El resultado coincide con el período sidéreo real de la Luna, de $27{,}3$ días.