Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

En 1971 el astronauta David Scott, de la misión Apollo 15, hizo el experimento siguiente en la superficie de la Luna: en una mano tenía una pluma de halcón de $30\text{ g}$ de masa y en la otra mano tenía un martillo de aluminio de $\mathrm{1,32}\text{ kg}$. Los soltó a la vez desde la misma altura y comprobó la predicción de Galileo según la cual en caída libre los dos objetos habían de llegar simultáneamente al suelo. Concretamente, ambos objetos tardaron $\mathrm{1,1}\text{ s}$ en recorrer los $100\text{ cm}$ que los separaban del suelo.

a) A partir del experimento de David Scott, calcule la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna y la masa de la Luna. [1,25 puntos]

b) Calcule el período orbital de la Luna alrededor de la Tierra. [1,25 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; distancia Tierra-Luna $=\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\text{ m}$; $R_{\text{Luna}}=\mathrm{1,74}\cdot {10}^6\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{experimento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{David}}\mathbf{\text{Scott,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En caída libre desde el reposo, y con la intensidad del campo gravitatorio constante cerca de la superficie, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado:

$h=\frac{1}{2}{g}_L{t}^2\Rightarrow g_L=\frac{2h}{t^2}$

Obsérvese que la masa no aparece: por eso la pluma y el martillo llegan a la vez, que es precisamente lo que Scott quiso demostrar.

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$h=100\text{ cm}=\mathrm{1,00}\text{ m}t=\mathrm{1,1}\text{ s}$

$g_L=\frac{2\cdot \mathrm{1,00}}{{\mathrm{1,1}}^2}=\mathrm{1,65}{\text{m/s}}^2$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un astro esférico es:

$g_L=\frac{G{M}_L}{R_L^2}\Rightarrow M_L=\frac{g_L{R}_L^2}{G}$

$M_L=\frac{\mathrm{1,65}\cdot {(\mathrm{1,74}\cdot {10}^6)}^2}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}}$

$M_L=\mathrm{7,50}\cdot {10}^{22}\text{kg}$

Los dos valores son los conocidos: la gravedad lunar es la sexta parte de la terrestre y la masa de la Luna, unas ochenta veces menor que la de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La Luna describe una órbita alrededor de la Tierra en la que la atracción gravitatoria terrestre hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M_T{M}_L}{d^2}=M_L\frac{4{\pi }^2}{T^2}d$

Simplificando la masa de la Luna y despejando el período se obtiene la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi \sqrt{\frac{d^3}{G{M}_T}}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{{(\mathrm{3,84}\cdot {10}^8)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}}$

$T=\mathrm{2,37}\cdot {10}^6\text{s}$

Expresado en días:

$T=\frac{\mathrm{2,37}\cdot {10}^6}{86400}=\mathrm{27,4}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

El resultado coincide con el período sidéreo real de la Luna, de $\mathrm{27,3}$ días.