Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2020

El ${}^{14}_{\ 6}\text{C}$ se produce en la atmósfera por la acción de los rayos cósmicos. Este isótopo es inestable y va decayendo a ${}^{14}_{\ 7}\text{N}$ mediante un proceso de desintegración $\beta$, con un período de semidesintegración de $5\,730$ años. La proporción de ${}^{14}\text{C}$ respecto al ${}^{12}\text{C}$ que hay en la atmósfera es constante a lo largo del tiempo. Los seres vivos asimilan el $\text{CO}_2$ de la atmósfera sin distinguir si se trata de ${}^{12}\text{C}$ o de ${}^{14}\text{C}$, y lo hacen en la proporción en que estos isótopos se encuentran de manera natural en la atmósfera. Cuando mueren, los seres dejan de asimilar $\text{CO}_2$ y, a partir de este momento, la cantidad de ${}^{14}\text{C}$ va decayendo.

a) Escriba la reacción que corresponde al decaimiento del ${}^{14}\text{C}$ a ${}^{14}\text{N}$. Incluya, si procede, los antineutrinos. [1,25 puntos]

b) Si una muestra de una madera utilizada en un sarcófago presenta una proporción de ${}^{14}_{\ 6}\text{C}$ de solo el $58\ \%$ respecto a la proporción que hay en la atmósfera, halle cuál es la antigüedad del sarcófago. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Escriba la reacción que corresponde al decaimiento del } \boldsymbol{{}^{14}\text{C}}\textbf{ a } \boldsymbol{{}^{14}\text{N}}\textbf{. Incluya, si procede, los antineutrinos. (1,25 puntos)}$

En el paso de carbono a nitrógeno el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad, lo que identifica una desintegración beta negativa: dentro del núcleo un neutrón se transforma en un protón.

Conservando el número másico, la carga y el número leptónico:

${}^{14}_{\ 6}\text{C}\rightarrow{}^{14}_{\ 7}\text{N}+{}^{\ \ 0}_{-1}e^{-}+\bar\nu_e$

Sí procede incluir el antineutrino electrónico: es la partícula que se lleva la energía que falta para completar el balance y la que explica que los electrones emitidos no salgan todos con la misma energía, sino con un espectro continuo.

$\textbf{b) Si una muestra de madera presenta una proporción de } \boldsymbol{{}^{14}_{\ 6}\text{C}}\textbf{ de solo el } \boldsymbol{58\ \%}\textbf{, halle cuál es la antigüedad del sarcófago. (1,25 puntos)}$

Mientras el árbol estaba vivo, la proporción de ${}^{14}\text{C}$ de su madera era la misma que la de la atmósfera. Desde su muerte, ese carbono 14 se desintegra siguiendo la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{5\,730}=1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

Que quede el $58\ \%$ significa:

$\frac{N}{N_0}=0{,}58$

Despejando el tiempo transcurrido:

$0{,}58=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}58=-\lambda t$

$t=\frac{-\ln 0{,}58}{1{,}21\cdot10^{-4}}=\frac{0{,}545}{1{,}21\cdot10^{-4}}$

$t=4{,}50\cdot10^{3}\,\text{años}$

El sarcófago tiene unos $4\,500$ años de antigüedad, algo menos de un período de semidesintegración, lo que es coherente con que todavía quede más de la mitad del carbono 14 inicial.