Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2020

Dos esferas iguales de $20\ \text{g}$ de masa cuelgan cada una de un hilo de $50\ \text{cm}$ de largo, tal como muestra la figura. Ambas esferas tienen cargas eléctricas iguales, pero de signo contrario. A causa de la atracción eléctrica que hay entre las esferas, los hilos forman un ángulo de $15^\circ$ con la vertical. En esta configuración, la distancia entre las esferas es de $10\ \text{cm}$.



a) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica entre las esferas y el valor de sus cargas eléctricas. [1,25 puntos]

b) Si retirásemos la carga positiva, ¿qué campo tendríamos que crear alrededor de la carga negativa para que esta última no cambiase de posición? Indique su módulo y represente esquemáticamente la dirección y el sentido que tendría. ¿Cómo tendría que ser este campo si, en lugar de retirar la carga positiva, retirásemos la carga negativa? [1,25 puntos]

Dato: $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$.

Nota: suponga que las dos cargas son puntuales.

$\textbf{a) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica entre las esferas y el valor de sus cargas eléctricas. (1,25 puntos)}$

Cada esfera está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: su peso, la tensión del hilo y la fuerza eléctrica de atracción, que es horizontal.

Descomponiendo la tensión en sus componentes y aplicando la condición de equilibrio en cada eje:

$T\cos\alpha=m\,g\qquad T\sin\alpha=F_e$

Dividiendo una ecuación entre la otra se elimina la tensión:

$\tan\alpha=\frac{F_e}{m\,g}\Rightarrow F_e=m\,g\,\tan\alpha$

Se sustituyen los datos, tomando $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$:

$F_e=0{,}020\cdot9{,}8\cdot\tan 15^\circ$

$F_e=5{,}25\cdot10^{-2}\,\text{N}$

Aplicando ahora la ley de Coulomb, con las dos cargas iguales en valor absoluto y separadas $10\,\text{cm}$:

$F_e=k\frac{q^2}{r^2}\Rightarrow q=r\sqrt{\frac{F_e}{k}}$

$q=0{,}10\sqrt{\frac{5{,}25\cdot10^{-2}}{8{,}99\cdot10^{9}}}$

$q=2{,}42\cdot10^{-7}\,\text{C}=0{,}242\,\mu\text{C}$

Una esfera tiene $+0{,}242\,\mu\text{C}$ y la otra, $-0{,}242\,\mu\text{C}$.

$\textbf{b) Si retirásemos la carga positiva, ¿qué campo tendríamos que crear alrededor de la carga negativa para que no cambiase de posición? ¿Y si retirásemos la negativa? (1,25 puntos)}$










Para que la esfera negativa siga en la misma posición, la fuerza que le falta al desaparecer la otra carga se ha de reponer exactamente: hace falta una fuerza horizontal, del mismo módulo que la atracción anterior y dirigida hacia donde estaba la carga positiva.

$F=5{,}25\cdot10^{-2}\,\text{N}$

El módulo del campo que la produce es:

$E=\frac{F}{|q|}=\frac{5{,}25\cdot10^{-2}}{2{,}42\cdot10^{-7}}$





$E=2{,}17\cdot10^{5}\,\text{N/C}$

En cuanto al sentido, hay que recordar que sobre una carga negativa la fuerza y el campo son antiparalelos:

$\vec F=q\,\vec E=-|q|\,\vec E$

Como la fuerza ha de apuntar hacia donde estaba la carga positiva, el campo ha de ser horizontal y apuntar en sentido contrario, es decir, alejándose de la posición que ocupaba la carga retirada.

Si en lugar de la positiva retirásemos la negativa, el razonamiento es el mismo salvo por el signo. La esfera que queda es ahora positiva, así que la fuerza y el campo tienen el mismo sentido:

$\vec F=q\,\vec E=+|q|\,\vec E$

El campo tendría el mismo módulo, $2{,}17\cdot10^{5}\,\text{N/C}$, y la misma dirección horizontal, pero apuntaría hacia la posición que ocupaba la carga retirada, es decir, en sentido contrario al del caso anterior.