Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

La sonda solar Parker (en inglés, Parker Solar Probe) es una nave espacial en órbita alrededor del Sol que tiene como objetivo acercarse mucho a la superficie solar. El gráfico siguiente muestra cómo varía la distancia de la nave respecto al Sol a lo largo de los primeros $1\,000$ días de misión e indica los instantes A, B y C. Las unidades empleadas para medir la distancia a la superficie del Sol son radios solares, $R_S$.



a) Observe en el gráfico los momentos de máximo acercamiento al Sol de cada órbita y determine cuántas vueltas completas ha hecho la nave alrededor del Sol en estos $1\,000$ días. ¿Cuánto mide el eje mayor de la órbita entre los momentos A y C? (Dé el resultado en radios solares.) [1,25 puntos]

b) Represente esquemáticamente el Sol y la órbita de la nave entre los momentos A y C. Indique sobre el dibujo las posiciones correspondientes a A, B y C. Sitúe la nave en la posición B y dibuje en este instante los vectores velocidad y aceleración de la nave (no hace falta calcular sus módulos). ¿En qué posición la velocidad de la nave es máxima? Justifique la respuesta e indique el principio físico en el que se ha basado. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine cuántas vueltas completas ha hecho la nave alrededor del Sol en estos } \boldsymbol{1\,000}\textbf{ días. ¿Cuánto mide el eje mayor de la órbita entre los momentos A y C? (1,25 puntos)}$

Los momentos de máximo acercamiento al Sol son los perihelios, es decir, los mínimos de la gráfica. Contándolos, se observan ocho mínimos a lo largo de los $1\,000$ días.

Cada vuelta completa transcurre entre dos perihelios consecutivos, de modo que ocho perihelios delimitan siete órbitas enteras:

$n=8-1=7\ \text{vueltas completas}$

Para el eje mayor hay que tener en cuenta que la gráfica da la distancia a la superficie del Sol, mientras que las órbitas se miden respecto al centro. Hay que sumar, por tanto, un radio solar a cada lectura.

En el punto A, que es un perihelio, la gráfica marca $35\,R_S$; y en el punto C, que es un afelio, marca $200\,R_S$:

$r_{\text{perihelio}}=35+1=36\,R_S$

$r_{\text{afelio}}=200+1=201\,R_S$

El eje mayor de una elipse es la suma de la distancia mínima y la máxima al foco donde está el Sol:

$2a=r_{\text{perihelio}}+r_{\text{afelio}}=36+201$

$2a=237\,R_S$

$\textbf{b) Represente el Sol y la órbita de la nave entre A y C, sitúe la nave en B y dibuje los vectores velocidad y aceleración. ¿En qué posición la velocidad es máxima? (1,25 puntos)}$










La órbita es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol, de acuerdo con la primera ley de Kepler. El punto A es el perihelio, el más próximo al Sol; el punto C es el afelio, el más alejado; y el punto B es una posición intermedia del recorrido de A hacia C.

En B, el vector velocidad es tangente a la trayectoria, y el vector aceleración apunta hacia el Sol, porque la única fuerza que actúa sobre la nave es la atracción gravitatoria solar.





La velocidad es máxima en el perihelio, es decir, en el punto A.

Se puede justificar de dos maneras equivalentes. Por la segunda ley de Kepler, el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, de modo que cuanto más corto es el radio vector más deprisa ha de moverse la nave. Y en términos dinámicos, la fuerza gravitatoria es central, así que el momento angular respecto al Sol se conserva:

$L=m\,r\,v=\text{constante}$

Al disminuir $r$, la velocidad ha de aumentar. En el perihelio el radio es mínimo y, por tanto, la velocidad es máxima.