Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2020

Durante una tormenta cae un rayo por el cual circula una corriente eléctrica de $400\ \text{kA}$. Suponga que la intensidad de la corriente del rayo es constante durante los $50\ \mu\text{s}$ que dura.

a) ¿Cuál es la carga eléctrica total que ha transportado este rayo? ¿Cuál es el campo magnético que crea esta corriente a una distancia de $100\ \text{m}$? [1,25 puntos]

b) ¿Qué fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada que se encuentra en reposo a esta misma distancia? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; la intensidad del campo magnético creado por una corriente rectilínea es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, donde $r$ es la distancia a la corriente.

$\textbf{a) ¿Cuál es la carga eléctrica total que ha transportado este rayo? ¿Cuál es el campo magnético que crea esta corriente a una distancia de } \boldsymbol{100\ \text{m}}\textbf{? (1,25 puntos)}$

La intensidad de corriente es la carga que atraviesa una sección por unidad de tiempo. Como el enunciado dice que es constante durante toda la descarga:

$I=\frac{q}{t}\Rightarrow q=I\,t$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$I=400\ \text{kA}=4{,}00\cdot10^{5}\ \text{A}\qquad t=50\ \mu\text{s}=5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{s}$

$q=4{,}00\cdot10^{5}\cdot5{,}0\cdot10^{-5}$

$q=20\,\text{C}$

El rayo se puede tratar como un conductor rectilíneo, de modo que el campo magnético que crea a una distancia $r$ es:

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot4{,}00\cdot10^{5}}{2\pi\cdot100}$

$B=8{,}00\cdot10^{-4}\,\text{T}$

Es un campo unas veinte veces mayor que el campo magnético terrestre, aunque dura solo unas décimas de milisegundo.

$\textbf{b) ¿Qué fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada que se encuentra en reposo a esta misma distancia? Justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga viene dada por la ley de Lorentz:

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

Como la partícula está en reposo, su velocidad es nula:

$\vec v=\vec 0\Rightarrow \vec F=\vec 0$

$F=0\,\text{N}$

La fuerza magnética es nula. A diferencia del campo eléctrico, que actúa sobre cualquier carga esté o no en movimiento, el campo magnético solo ejerce fuerza sobre cargas en movimiento, y siempre perpendicularmente a la velocidad.