Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2020

Freddie Mercury ha pasado a la historia como una de las mejores voces del rock. Su mágica voz ha sido objeto de discusión y estudio, también para la ciencia. El biofísico austríaco Christian Herbst estudió la voz del cantante de Queen y determinó que Mercury era un barítono con un registro vocal que iba del fa 2 (alrededor de $92{,}2\ \text{Hz}$) al sol 5 (alrededor de $784\ \text{Hz}$).

a) Calcule las longitudes de onda de los sonidos más graves y más agudos que Mercury podía emitir. [1,25 puntos]

b) En el año 1985, Queen actuó en el festival Rock in Rio, en un concierto que reunió a unas $350\,000$ personas. En un momento de mucha emoción, los asistentes empezaron a cantar a cappella la famosa canción Love of my life. Si cada asistente al concierto cantaba con una potencia de $10^{-7}\ \text{W}$, ¿qué nivel de intensidad sonora (en decibelios) se podía percibir a $1\ \text{km}$ del concierto? (A esta distancia, puede considerar que el concierto es una fuente puntual de sonido.) [1,25 puntos]

Datos: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340\ \text{m s}^{-1}$.

$\textbf{a) Calcule las longitudes de onda de los sonidos más graves y más agudos que Mercury podía emitir. (1,25 puntos)}$

La longitud de onda de una onda sonora se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda=\frac{v}{f}$

Para el sonido más grave, el fa 2, de $92{,}2\,\text{Hz}$:

$\lambda_{\text{grave}}=\frac{340}{92{,}2}=3{,}69\,\text{m}$

Y para el más agudo, el sol 5, de $784\,\text{Hz}$:

$\lambda_{\text{agudo}}=\frac{340}{784}=0{,}434\,\text{m}$

Cuanto más aguda es la nota, mayor es la frecuencia y menor la longitud de onda, porque la velocidad del sonido en el aire es la misma para todas.

$\textbf{b) ¿Qué nivel de intensidad sonora se podía percibir a } \boldsymbol{1\ \text{km}}\textbf{ del concierto? (1,25 puntos)}$

Si cada uno de los asistentes canta con la misma potencia, la potencia total emitida es la suma:

$P=350\,000\cdot10^{-7}=3{,}50\cdot10^{-2}\,\text{W}$

A $1\,\text{km}$ se puede tratar el conjunto como un foco puntual, de modo que esa potencia se reparte por igual sobre una superficie esférica:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{3{,}50\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot\left(10^{3}\right)^{2}}$

$I=2{,}79\cdot10^{-9}\,\text{W/m}^2$

Y el nivel de intensidad sonora correspondiente es:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}=10\log\frac{2{,}79\cdot10^{-9}}{10^{-12}}$

$\beta=34{,}4\,\text{dB}$

A un kilómetro del concierto se percibirían unos $34\,\text{dB}$, un nivel comparable al de una conversación en voz baja.