Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

Un alternador consiste en una bobina de 100 espiras rectangulares. Las dimensiones de los lados largo y corto de la bobina son $2{,}0\ \text{cm}$ y $1{,}6\ \text{cm}$, respectivamente. La bobina gira con una frecuencia de 60 vueltas por segundo dentro de un campo magnético uniforme de magnitud $B = 0{,}1\ \text{T}$. La orientación relativa entre el campo magnético y la bobina viene dada por el ángulo $\theta$ que forman el campo magnético y el vector $\vec S$ perpendicular al plano que contiene la bobina.



a) Determine el valor del flujo del campo magnético a través de una espira de la bobina cuando el campo magnético es perpendicular a la superficie de la espira (ángulo $\theta = 0\ \text{rad}$) y para una orientación cualquiera (indique el resultado en función del ángulo $\theta$). [1,25 puntos]

b) A partir del flujo del campo magnético a través de la bobina, determine la evolución de la fuerza electromotriz en función del tiempo, suponiendo que inicialmente el ángulo $\theta$ es igual a $0\ \text{rad}$. Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la bobina. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el flujo del campo magnético a través de una espira cuando } \boldsymbol{\theta=0}\textbf{ y para una orientación cualquiera. (1,25 puntos)}$

El flujo del campo magnético a través de una superficie plana es el producto escalar del campo por el vector superficie:

$\Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\theta$

La superficie de cada espira rectangular es:

$S=2{,}0\ \text{cm}\cdot1{,}6\ \text{cm}=0{,}020\cdot0{,}016=3{,}2\cdot10^{-4}\,\text{m}^2$

Cuando el campo es perpendicular a la superficie de la espira, el ángulo es nulo y el coseno vale la unidad, de modo que el flujo es máximo:

$\Phi(0)=B\,S=0{,}1\cdot3{,}2\cdot10^{-4}$

$\Phi(0)=3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{Wb}$

Y para una orientación cualquiera:

$\Phi(\theta)=3{,}2\cdot10^{-5}\cos\theta\ \text{Wb}$

$\textbf{b) Determine la evolución de la fuerza electromotriz en función del tiempo y calcule su valor máximo. (1,25 puntos)}$

La bobina gira con velocidad angular constante, de modo que el ángulo crece uniformemente con el tiempo. Como en el instante inicial el ángulo es nulo:

$\theta=\omega\,t\qquad \omega=2\pi f=2\pi\cdot60=377\,\text{rad/s}$

$\Phi(t)=B\,S\cos(\omega t)$

Aplicando la ley de Faraday-Lenz a una bobina de $N$ espiras:

$\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}=-N\,B\,S\frac{d}{dt}\cos(\omega t)$

$\varepsilon(t)=N\,B\,S\,\omega\sin(\omega t)$

La fuerza electromotriz es sinusoidal y de la misma frecuencia que el giro: este es el principio de funcionamiento de un alternador.

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale la unidad:

$\varepsilon_{\max}=N\,B\,S\,\omega=100\cdot0{,}1\cdot3{,}2\cdot10^{-4}\cdot377$

$\varepsilon_{\max}=1{,}21\,\text{V}$

Obsérvese que la fuerza electromotriz es máxima cuando el flujo es nulo, es decir, cuando la espira es paralela al campo, porque es entonces cuando el flujo varía más deprisa.