Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2021

Un violinista interpreta un solo durante un concierto. De repente, cuatro violines más lo acompañan, tocando con la misma intensidad que el primero.

a) ¿Cuántos decibelios ha aumentado el nivel de intensidad del sonido? [1,25 puntos]

b) Ahora los cinco violines pasan de mezzo piano a forte y medimos un nivel de intensidad del sonido de $76{,}98\ \text{dB}$. Suponiendo que todos los violines tocan con la misma intensidad, ¿cuál es la intensidad $I$ con la que toca un solo violín? [1,25 puntos]

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$.

$\textbf{a) ¿Cuántos decibelios ha aumentado el nivel de intensidad del sonido? (1,25 puntos)}$

El nivel de intensidad sonora se define a partir de la intensidad mediante una escala logarítmica:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}$

Al incorporarse cuatro violines más, que tocan con la misma intensidad que el primero, la intensidad total que llega al oyente es cinco veces la inicial:

$I_5=5\,I_1$

El aumento del nivel es la diferencia entre los dos niveles:

$\Delta\beta=10\log\frac{I_5}{I_0}-10\log\frac{I_1}{I_0}=10\log\frac{I_5}{I_1}=10\log 5$

$\Delta\beta=6{,}99\,\text{dB}$

Multiplicar por cinco la intensidad solo sube el nivel unos $7\,\text{dB}$: la escala logarítmica comprime enormemente las variaciones de intensidad, y por eso cinco violines no suenan cinco veces más fuerte que uno.

$\textbf{b) Si el nivel de los cinco violines es de } \boldsymbol{76{,}98\ \text{dB}}\textbf{, ¿cuál es la intensidad con la que toca un solo violín? (1,25 puntos)}$

Del nivel de intensidad sonora se despeja la intensidad total:

$I_{\text{total}}=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{7{,}698}$

$I_{\text{total}}=4{,}99\cdot10^{-5}\,\text{W/m}^2$

Como los cinco violines tocan con la misma intensidad, la de uno solo es la quinta parte:

$I=\frac{I_{\text{total}}}{5}=\frac{4{,}99\cdot10^{-5}}{5}$

$I=9{,}98\cdot10^{-6}\,\text{W/m}^2\simeq1{,}0\cdot10^{-5}\,\text{W/m}^2$

Se puede comprobar el resultado calculando el nivel que corresponde a un solo violín:

$\beta_1=10\log\frac{9{,}98\cdot10^{-6}}{10^{-12}}=69{,}99\,\text{dB}$

que efectivamente son los $76{,}98\,\text{dB}$ menos los $6{,}99\,\text{dB}$ del apartado anterior.